安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 6 x + 8 < 0}$ ， $N = {x | x < 3}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(2, 3)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 4)$

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2. 若复数 $z$ 满足 $\frac{\bar{z}}{1 + i} = 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + 2 i$ B、 $2 - 2 i$ C、 $- 2 - 2 i$ D、 $- 2 + 2 i$

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3. 多年来，某市持续推动创建文明城市工作，通过净化出行环境､改造生活设施､扩建园林绿化等，空气质量稳步提升.如图是空气质量指数与相应等级对照表以及该市12月21日至第二年1月10日的空气质量指数图，下面结论中不正确的是（）

空气质量指数	空气质量等级
0-50	优
51-100	良
101-150	轻度污染
151-200	中度污染
201-300	重度污染
$> 300$	严重污染

A、1月上旬的空气质量等级总体优于12月下旬空气质量等级 B、以上21天中12月30号空气质量等级为优，空气质量最佳 C、1月上旬空气质量指数比12月下旬的波动性更大 D、以上21天空气质量指数的中位数对应的等级为良

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{4} = 6$ ， $S_{3} = 0$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、0 B、15 C、20 D、30

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5. 函数 $f (x) = \frac{\sin 2 x}{e^{| x |}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $M$ 在抛物线 $C$ 上， $| M F | = 6$ ，若线段 $M F$ 的中点到准线的距离为4，则 $p$ 为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、4

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7. 已知 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2}$ $f^{'} (1) x^{2} + x + \frac{1}{4}$ ，则曲线 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $4 x - y - 1 = 0$ C、 $x - 4 y - 1 = 0$ D、 $4 x - 4 y - 1 = 0$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $A = 30 °$ ， $B C$ 边上的高为1，则 $△ A B C$ 面积的最小值为（）

A、 $2 - \sqrt{5}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{5}$

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9. 现有甲､乙､丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排总数为（）

A、10 B、20 C、40 D、60

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10. 意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹､惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数： $f (x) = c + a \cosh \frac{x}{a} = c$ $+ a \cdot \frac{e^{\frac{x}{a}} + e^{- \frac{x}{a}}}{2}$ ( $e$ 为自然对数的底数).当 $c = 0$ ， $a = 1$ 时，记 $P = f (2^{\frac{1}{π}})$ ， $M = f (\log_{π} \frac{1}{2})$ ， $N = f (3)$ ，则 $P$ ， $M$ ， $N$ 的大小关系为（）

A、 $P < M < N$ B、 $N < M < P$ C、 $M < P < N$ D、 $M < N < P$

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11. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ .若 $f (x) \leq f (\frac{5 π}{8})$ 对任意的实数 $x$ 都成立，且 $f (\frac{11 π}{8}) = 0$ ， $f (x)$ 在 $(- \frac{3 π}{4} ， \frac{π}{4})$ 单调，则（）

A、 $ω = \frac{2}{3}$ ， $φ = \frac{π}{12}$ B、 $ω = \frac{2}{3}$ ， $φ = - \frac{11 π}{12}$ C、 $ω = \frac{1}{3}$ ， $φ = - \frac{11 π}{24}$ D、 $ω = \frac{1}{3}$ ， $φ = \frac{7 π}{24}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $A B$ ， $A D$ 中点分别为 $E$ ， $F$ ，若过 $E F$ 的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（）

A、 $\sqrt{2} + 2 \sqrt{13}$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{13}$ C、 $3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{2} + \sqrt{5}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, m)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以 $x$ 轴非负半轴为始边，角 $α$ 与角 $β$ 的终边关于 $y$ 轴对称，若 $\tan α = - 2$ ，则 $\sin 2 β$ 的值为.

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15. 已知正四棱锥的体积为 $18$ ，侧棱与底面所成的角为 $45^{\circ}$ ，则该正四棱锥外接球的表面积为.

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 为双曲线 $C$ 的渐近线上一点， ${\vec{P F}}_{1} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，若直线 $P F_{1}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{2} = 3$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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18. 在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为的菱形， $A A_{1} = A_{1} B_{1} = 1$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、 $E$ 是棱 $A D$ 的中点，求证： $B_{1} E //$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ；

(2)、试问棱 $A D$ 上是否存在点 $M$ ，使得二面角 $M - A_{1} B_{1} - D_{1}$ 的余弦值是 $\frac{\sqrt{57}}{19}$ ？若存在，求点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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19. “直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示､咨询答疑､导购销售的新型服务方式.某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名.男生中在直播平台购物的人数占男生总数的

\frac{2}{3}

，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的

\frac{7}{8}

附： $n = a + b + c + d$ ， $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

(1)、填写

2 \times 2

列联表，并判断能否有99%的把握认为校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？

	男生	女生	合计
2020年在直播平台购物
2020年未在直播平台购物
合计

(2)、若把这100名学生2020年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之差为

X

，求

X

的分布列与期望.

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.01	0.005	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	7.879	10.828

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，且椭圆 $C$ 经过点 $A (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、椭圆 $C$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $A$ 作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于 $B$ ， $C$ 两点，证明： $B C // A F$ .

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - 2 x + 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、函数 $g (x) = f (x) + x \ln x$ ，当 $a > 0$ 时，讨论 $g (x)$ 零点的个数.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + t \cos θ \\ y = t \sin θ \end{array}$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \sin θ$ .

(1)、当 $θ$ 为参数， $t > 0$ 时，曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 只有一个公共点，求 $t$ ；

(2)、当 $t$ 为参数， $θ \in [0, π)$ 时，曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于 $A$ ， $B$ ，且 $| A B | = 4$ ，求 $θ$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 5 | + | 2 x - 2 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 12$ 的解集；

(2)、若 $m$ 为 $f (x)$ 的最小值，实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = m$ ，求证： $\frac{1}{a^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + 2} + \frac{1}{c^{2} + 3} \geq \frac{3}{4}$ ．

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