安徽省合肥市六校2020-2021学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 3}$ B、 ${x | x < 3}$ C、 ${x | x > 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 1}$

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2. 已知命题 $p : \forall x < 2, x^{3} - 8 < 0$ ，那么 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x \geq 2, x^{3} - 8 \geq 0$ B、 $\forall x \leq 2, x^{3} - 8 > 0$ C、 $\forall x > 2, x^{3} - 8 > 0$ D、 $\exists x < 2, x^{3} - 8 \geq 0$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{2}{x} ， x \leq 0 \\ - {(\frac{1}{2})}^{x} ， x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (2))$ ＝（）

A、﹣4 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣8

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4. 函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{2}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, e)$ D、 $(3, 4)$

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5. 已知 $a = {0.9}^{0.1}, b = {log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{3}}, c = {log}_{2}^{\frac{1}{3}}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、c<b<a B、a<b<c C、c<a<b D、b<c<a

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6. 若tanα＞0，则（）

A、sinα＞0 B、cosα＞0 C、sin2α＞0 D、cos2α＞0

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7. 已知 $f (x)$ 是R上的奇函数且 $f (x + 4) = f (x)$ ，当 $x \in (0, 2)$ 时， $f (x) = 2 x^{2}$ ， $f (2023) =$ （）

A、-2 B、2 C、-98 D、98

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8. 已知 $\sin (x - \frac{π}{3}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (x + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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9. 已知函数 $y = x - 4 + \frac{9}{x + 1} (x > - 1)$ ，当 $x = a$ 时， $y$ 取得最小值 $b$ ，则 $a + b$ 等于（）

A、-3 B、2 C、3 D、8

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10. 函数 $y = (e^{x} + e^{- x}) \sin x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 设奇函数 $f (x)$ 对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty ， 0) (x_{1} \neq x_{2})$ ，有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，且 $f (2020) = 0$ ，则 $\frac{f (x) - f (- x)}{x} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup (2020 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 2020) \cup (0 ， 2020)$ C、 $(- \infty ， - 2020) \cup (2020 ， + \infty)$ D、 $(- 2020 ， 0) \cup (0 ， 2020)$

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12. 已知幂函数 $f (x) = {(m - 1)}^{2} x^{m^{2} - 4 m + 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，函数 $g (x) = 2^{x} - t$ ，任意 $x_{1} \in [1, 6)$ 时，总存在 $x_{2} \in [1, 6)$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则t的取值范围是（）

A、 $1 < t < 28$ B、 $1 \leq t \leq 28$ C、 $t > 28$ 或 $t < 1$ D、 $t \geq 28$ 或 $t \leq 1$

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二、填空题

13. 不等式 $- x^{2} + 2 x + 3 < 0$ 的解集是．

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14. 已知等腰三角形底角正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，则顶角的余弦值是

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15. 若 $3^{m} = 2^{n} = 6$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ .

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16. 将函数 $y = \cos (2 x - \frac{4}{3} π)$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位，所得图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | m < x < 1 - m}$ ．

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数m的取值范围．

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18. 已知 $\cos α + \sin α = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ， $α \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$

(1)、求 $\tan 2 α$ ；

(2)、若 $\tan (π - β) = - \frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求 $\tan (2 α + β)$ .

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19. 已知函数f（x）＝sin2x+acos²x（a∈R，a为常数），且 $\frac{π}{4}$ 是函数y＝f（x）的零点．

(1)、求a的值，并求函数f（x）的最小正周期；

(2)、若x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]，求函数f（x）的值域．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{e^{x} + 1} + 1$ 为奇函数.

(1)、求 $a$ 的值，并用函数单调性的定义证明函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数；

(2)、求不等式 $f (t^{2}) + f (2 t - 3) \leq 0$ 的解集.

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21. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示：

(1)、求图中a，b的值及函数 $f (x)$ 的递增区间；

(2)、若 $α \in [0 ， π]$ ，且 $f (α) = \sqrt{2}$ ，求 $α$ 的值．

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22. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产 $x$ 千件，需另投入成本为 $C (x)$ ，当年产量不足80千件时， $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 20 x$ (万元).当年产量不小于 $80$ 千件时， $C (x) = 51 x + \frac{10000}{x} - 600$ (万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

(1)、写出年利润 $L (x)$ (万元)关于年产量 $x$ (千件)的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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