安徽省名校2020-2021学年高三上学期理数期末联考试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若集合 $A = {x ∣ 1 < x < 3} ， B = {x ∣ 2 < x < 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 2 < x < 3}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 4}$ C、 ${x ∣ 3 < x < 4}$ D、 ${x ∣ 1 ⩽ x < 4}$

查看试题解析
2. 已知复数z满足 $z (2 - i) = i$ (i为虚数单位)，则 $z =$ （）

A、 $\frac{- 1 + 2 i}{5}$ B、 $\frac{- 1 - 2 i}{5}$ C、 $\frac{1 - 2 i}{5}$ D、 $\frac{1 + 2 i}{5}$

查看试题解析
3. 如图， $A B = 1 ， A C = 3 ， ∠ A = 90 ° ， \vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

查看试题解析
4. 已知使不等式 $x^{2} + (a + 1) x + a ⩽ 0$ 成立的任意一个x，都满足不等式 $3 x - 1 ⩽ 0$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{3}, + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{3}]$

查看试题解析
5. 已知函数 $y = a^{x} - b (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象如图所示，则以下结论不正确的是（）

A、 $a^{b} > 1$ B、 $\ln (a + b) > 0$ C、 $2^{b - a} < 1$ D、 $b^{a} > 1$

查看试题解析
6. 将函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{6}) (0 < ω < 4)$ 的周期为 $π$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $ω = 1$ B、函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{12}$ C、 $f (\frac{π}{3}) ⩾ f (x)$ D、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ ，上单调递增

查看试题解析
7. 李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为 $\frac{1}{3}$ ，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

查看试题解析
8. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，点D在边 $A C$ 上，已知 $A = \frac{π}{3} ， A D = 5 ， B D = 7$ ， $c \sin B = b \cos \frac{C}{2}$ ，则 $B C =$ （）

A、8 B、10 C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $10 \sqrt{3}$

查看试题解析
9. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q，首项 $a_{1} > 0$ ，则“ $q > 1$ ”是“对 $\forall n \in N^{*}, a_{2 n + 1} - a_{2 n} > 0$ ”的（）

A、充要条件 B、充分而不必要条件 C、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $E ， F ， G$ 分别为 $C D ， D_{1} D ， A_{1} B_{1}$ 的中点，P为平面 $C D D_{1} C_{1}$ 内任一点，设异面直线 $G F$ 与 $P E$ 所成的角为 $α$ ，则 $\cos α$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、1

查看试题解析
11. 设抛物线 $C ： x^{2} = 4 y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过点 $F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $M ， N$ 两点，交 $l$ 于点 $P$ ，且 $\vec{P F} = \vec{F M}$ ，则 $| M N | =$ （）

A、2 B、 $\frac{8}{3}$ C、5 D、 $\frac{16}{3}$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = \sum_{i = 0}^{2} | x - 2 i + \frac{1}{x - 2 i} |$ ，下列四个判断一定正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为偶函数 B、函数 $f (x)$ 最小值为6 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 D、关于x的方程 ${[f (x)]}^{2} - m = 0 (m > 0)$ 的解集可能为 ${- 2 ， 0 ， 3 ， 6}$

查看试题解析

二、填空题

13. 设 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x + y \leq 4 \\ x - y \geq - 1 \\ x + 2 y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值为.

查看试题解析
14. 已知 $α \in (0, π)$ ，且 $2 \cos 2 α + \cos α - 1 = 0$ ，则 $\sin α =$ .

查看试题解析
15. 已知点 $F (\sqrt{5}, 0)$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦点，O为坐标原点，以点F为圆心，2为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于 $M, N$ 两点，若 $△ M N F$ 为等边三角形，则该双曲线的离心率为.

查看试题解析
16. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C = 4 ， A_{1} B_{1} = C C_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，平面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则该三棱台外接球的表面积为.

查看试题解析

三、解答题

17. 从① $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} (n \in N^{*})$ ，② ${b_{n}}$ 为等差数列且 $b_{2} = 2 ， 2 b_{1} + b_{5} = 7$ ，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.
问题：已知数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 满足 $a_{n} = 2^{b_{n}}$ ，且___________.

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 为等比数列；

(2)、若 $c_{m}$ 表示数列 ${b_{n}}$ 在区间 $(0, a_{m})$ 内的项数，求数列 ${c_{m}}$ 前m项的和 $T_{m}$ .

查看试题解析

18. 随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市发行2亿元消费券.为了解该消费券使用人群的年龄结构情况，该市随机抽取了50人，对是否使用过消费券的情况进行调查，结果如下表所示，其中年龄低于45岁的人数占总人数的

\frac{3}{5}

年龄(单位：岁)	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75)$
调查人数	5	m	15	10	n	5
使用消费券人数	5	10	12	7	2	1

(1)、若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面

2 \times 2

列联表，并判断是否有99%的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关.

	年龄低于45岁的人数	年龄不低于45岁的人数	合计
使用消费券人数
未使用消费券人数
合计

参考数据：

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

(2)、从使用消费券且年龄在

[15, 25)

与

[25, 35)

的人中按分层抽样方法抽取6人，再从这6人中选取2名，记抽取的两人中年龄在

[15, 25)

的人数为X，求X的分布列与数学期望.

查看试题解析

19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $B C / / A D ， ∠ A D C = 90 °$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1 ， E$ 为线段 $A D$ 的中点，过 $B E$ 的平面与线段 $P D ， P C$ 分别交于点 $G ， F$ .

(1)、求证： $G F ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P A = P D = \sqrt{2}$ ，点G为 $P D$ 的中点，求平面 $P A B$ 与平面 $B E G F$ 所成锐二面角的余弦值.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 m x - 2 \ln x + m (m ， n \in R)$ .

(1)、若直线 $y = 2 m x$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，求m的值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + 4 \ln x$ 有两个不同的极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $\frac{g (x_{2}) + x_{1}}{x_{1}}$ 的取值范围.

查看试题解析
21. 已知D为圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上一动点，过点D分别作x轴y轴的垂线，垂足分别为 $A ， B$ ，连接 $B A$ 延长至点P，使得 $| P A | = 2$ ，点P的轨迹记为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、作圆O的切线交曲线C于 $M ， N$ 两点，Q为曲线C上一动点(点 $O ， Q$ 分别位于直线 $M N$ 两侧)，求四边形 $O M Q N$ 的面积的最大值.

查看试题解析
22. 已知直线 $l : {\begin{array}{l} x = 2 + t \cos \frac{3 π}{4} \\ y = t \sin \frac{3 π}{4} \end{array}$ (t为参数)，曲线 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ .以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求直线 $l$ 和曲线C的极坐标方程；

(2)、若射线 $θ = \frac{π}{4}$ 分别交直线 $l$ 和曲线C于 $M 、 N$ 两点(N点不同于坐标原点O)，求 $| M N |$ .

查看试题解析
23. 已知 $a > 0, b > 0$ ，若函数 $f (x) = | x + a | + | x - b |$ 的最小值为4.

(1)、求a+b的值；

(2)、若 $a = 1$ ，解关于x的不等式 $f (x) < 5$ .

查看试题解析