安徽省池州市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列元素与集合的关系表示不正确的是（）

A、 $0 \in N$ B、 $0 \in Z$ C、 $\frac{3}{2} \in Q$ D、 $π \in Q$

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2. “ $a b < 0$ ”是的“ ${(\frac{a + b}{2})}^{2} > a b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知全集为U，集合 $A = {- 2 ， 0 ， 1 ， 2} ， B = {x | - 2 ⩽ x ⩽ 0}$ ，集合A和集合B的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $[- 1 ， 0]$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${1 - 2 ， 1 ， 2}$

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4. 已知 $P = a^{2} + 4 a + 1 ， Q = - b^{2} + 2 b - 4$ ，则（）

A、 $P > Q$ B、 $P < Q$ C、 $P ⩾ Q$ D、 $P ⩽ Q$

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5. 已知角 $α$ 顶点在原点，始边与 $x$ 轴正半轴重合，点 $P (- 1, - \sqrt{3})$ 在终边上，则 $\sin (α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、0 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、-1

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6. 设 $a = 2^{- 0.3}, b = \log_{5} 0.2, c = \log_{6} 7$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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7. 已知幂函数 $f (x) = (a - 1) x^{n}$ 的图象过点 $(2, 8)$ ，且 $f (b - 2) < f (1 - 2 b)$ ，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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8. 已知函数 $y = a^{x}$ 的图象如图，则 $f (x) = \log_{a} (- x + 1)$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 下列不等式中，正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a^{2} < b^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ C、若 $a > b > 0, c > d > 0, e > f > 0$ ，则 $a c e > b d f$ D、若 $a > b > c > 0, d > e > f > 0$ ，则 $\frac{a}{d} > \frac{b}{e} > \frac{c}{f}$

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10. 若 $2020^{a} = 2021^{b} > 1$ ，则（）

A、 $0 < b < a$ B、 $a < b < 0$ C、 $0 < a < b$ D、 $b < a < 0$

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11. 若函数 $f (x) = x + \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})$ ，则 $f (x^{2} - 21) + f (4 x) ⩽ 0$ 的解集为（）

A、 ${x ∣ - 3 ⩽ x ⩽ 7}$ B、 ${x ∣ - 7 ⩽ x ⩽ 3}$ C、 ${x ∣ x ⩾ 3$ 或 $x ⩽ - 7}$ D、 ${x ∣ x ⩾ 7$ 或 $x ⩽ - 3}$

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12. 当 $α ， β \in (2 π ， \frac{5 π}{2})$ 时，若 $α > β$ ，则以下不正确的是（）

A、 $\sin α - \sin β > \tan β - \tan α$ B、 $\cos α + \tan β < \cos β + \tan α$ C、 $\frac{\sin α}{\sin β} > \frac{\tan β}{\tan α}$ D、 $\tan α \sin β < \tan β \sin α$

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二、填空题

13. 已知函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{m t - 7}$ （m为常数），当 $t = 4$ 时， $y = 64$ ，若 $y ⩽ \frac{1}{2}$ ，则t的取值范围为．

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14. 已知 $x \in [0, \frac{1}{3}]$ ，则函数 $g (x) = x + \sqrt{1 - 3 x}$ 的值域为．

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15. 已知 $α + β = \frac{π}{3}, \tan α + \tan β = 3$ ，则 $\cos (α - β) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，在 $(- \infty, 0)$ 上单调，且为奇函数．若 $f (- 3) = - 2 ， f (- 1) = 2$ ，则满足 $- 2 \leq f (1 - x) \leq 2$ 的x的取值范围是．

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三、解答题

17. 设 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ），其图象经过点 $(\frac{1}{2}, \sqrt{10})$ ，又 $g (x)$ 的图象与 $f (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称．

(1)、若 $f (2 m) = 4, f (n) = 25$ ，求 $2 m + n$ 的值；

(2)、若 $g (x)$ 在区间 $[\sqrt{10}, c]$ 上的值域为 $[m, n]$ ，且 $n - m = \frac{3}{2}$ ，求c的值．

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18. 已知函数 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 的图象相邻两个零点差的绝对值为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、若 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ，分别求 $A ， ω$ ；

(2)、将 $f (x)$ 的图象上的所有点的横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调递增区间．

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19. 设 $p ： \frac{3 x - 2}{2 x - 3} ⩽ 1$ ， $q ： | x - 1 | < a (a > 0)$ ．

(1)、若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

(2)、若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

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20. 设 $f (x) = 2 x^{2} + m x - (m - \frac{9}{8}) (m \in R)$ ．

(1)、解不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、已知存在 $x_{1}, x_{2} \in R, x_{1} < x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0$ ，证明：当 $x_{2} - x_{1} ⩾ 1$ 时， $f (x)$ 的图象与x轴围成封闭区域的面积大于 $\frac{1}{4}$ ．

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21. 已知 $0 < α < \frac{π}{2} ， 0 < β < π ， \cos α = \frac{3}{5}$ ．

(1)、分别求 $\cos 2 α ， \sin 2 α ， \sin \frac{α}{2}$ 的值；

(2)、若 $\sin (α + β) = \frac{1}{3}$ ，求 $\cos β$ ．

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22. 已知 $f (x) = m x^{2} + x + 1, m \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上有两个不同的零点，求实数m的取值范围；

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 存在两个实数根为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $\frac{x_{1}}{x_{2}} \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，求实数m的取值范围．

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