2020年-2021年高三数学教学质量检测模拟卷(二)

试卷更新日期：2021-02-23 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x ∣ x^{2} - 4 < 0}$ ， $B = {x ∣ \lg x < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 2)$

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2. 若圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 与圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = a + 5$ 外切，则 $a =$ （）

A、-4 B、-1 C、4 D、11

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3. 已知P椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的动点，则P到该椭圆两焦点的距离之和为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、8

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4. 若复数 $z = 2 - i$ ，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、z的虚部为 $- i$ B、 $| z | = 5$ C、 $\bar{z} = - 2 - i$ D、 $z^{2} = 3 - 4 i$

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5. 某商铺统计了今年5个月的用电量y(单位：10kw/h)与月份x的对应数据，列表如下：

x

2

4

5

6

8

y

30

40

57

a

69

根据表中数据求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 6.5 x + 17.5$ ，则上表中 $a$ 的值为（）

A、50 B、54 C、56.5 D、64

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6. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3^{n} + a$ ，则 $a$ 的值为（）

A、3 B、1 C、-3 D、-1

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7. 已知 $x = \log_{0.1} 5$ ， $y = \log_{7} \sqrt{5}$ ，则（）

A、 $x + y < x y < 0$ B、 $x y < x + y < 0$ C、 $x + y < 0 < x y$ D、 $x y < 0 < x + y$

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8. 若 $x_{0} = cos x_{0}$ ，则（）

A、 $x_{0} \in (\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ B、 $x_{0} \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ C、 $x_{0} \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ D、 $x_{0} \in (0, \frac{π}{6})$

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9. 如图是函数 $f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象，则下列说法一定正确的是（）

A、 $x = x_{3}$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点 B、当 $x = x_{2}$ 或 $x = x_{4}$ 时，函数 $f (x)$ 的值为0 C、函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(0 ， c)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在 $(x_{4} ， + \infty)$ 上是增函数

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10. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义黎曼函数 $R (x)$ 为：当 $x = \frac{q}{p}$ （ $p, q$ 为正整数， $\frac{q}{p}$ 是既约真分数）时 $R (x) = \frac{1}{p}$ ，当 $x = 0$ 或 $x = 1$ 或 $x$ 为 $[0, 1]$ 上的无理数时 $R (x) = 0$ .已知 $a$ 、 $b$ 、a+b都是区间 $[0, 1]$ 内的实数，则下列不等式一定正确的是（）

A、 $R (a + b) \geq R (a) + R (b)$ B、 $R (a \cdot b) \geq R (a) \cdot R (b)$ C、 $R (a + b) \leq R (a) + R (b)$ D、 $R (a \cdot b) \leq R (a) \cdot R (b)$

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11. 已知可导函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $x f^{'} (x) - 2 f (x) > 0$ ，则不等式 $f (2020 + x) - {(x + 2020)}^{2} f (- 1) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2021)$ B、 $(- 2021 ， - 2020)$ C、 $(- 2021 ， 0)$ D、 $(- 2020 ， 0)$

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12. 在正方体 $A C_{1}$ 中，E是棱 $C C_{1}$ 的中点，F是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点，且 $A_{1} F$ 与平面 $D_{1} A E$ 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）

A、点F的轨迹是一条线段 B、 $A_{1} F$ 与BE是异面直线 C、 $A_{1} F$ 与 $D_{1} E$ 不可能平行 D、三棱锥 $F - A B D_{1}$ 的体积为定值

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二、填空题

13. 已知幂函数的图象经过点（9，3）则 $f (2) - f (1) =$

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14. 不等式 $\frac{x - 2}{x + 3} > 0$ 的解集是．

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15. 已知{ $a_{n}$ }是等差数列， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和.若 $a_{1} + a_{2}^{2} = - 3$ ， $S_{5}$ =10，则 $a_{9}$ 的值是.

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16. 已知 $A ， B$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 和双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的公共顶点，其中 $a > b > 0$ ， $P$ 是双曲线上的动点， $M$ 是椭圆上的动点（ $P ， M$ 都异于 $A ， B$ ），且满足 $\vec{P A} + \vec{P B} = λ (\vec{M A} + \vec{M B})$ （ $λ \in R$ ），设直线 $A P ， B P ，$ $A M ，$ $B M$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2} ， k_{3} ， k_{4}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = \sqrt{3}$ ，则 $k_{3} + k_{4} =$ .

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项的和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} = 5, S_{3} = 9$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{(\frac{a_{n} + 1}{2})} - 1$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $\cos C = \frac{4}{5}$ ， $c = 2 b \cos A$ ，

(1)、求证： $A = B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{15}{2}$ ，求 $c$ 的值.

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19. 某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．已知该网络购物平台近5年“双十一”购物当天成交额如下表：

年份

2015

2016

2017

2018

2019

成交额（百亿元）

9

12

17

21

27

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、求成交额 $y$ （百亿元）与时间变量 $x$ （记2015年为 $x = 1$ ，2016年为 $x = 2$ ，…以此类推）的线性回归方程；

(2)、试预测2021年该平台“双十一”购物当天的成交额（百亿元）．

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20. 已知椭圆 $ω ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (- 2 ， 0)$ ，且 $a = 2 b$ .

(1)、求椭圆 $ω$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为原点，过点 $C (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $ω$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，且直线 $l$ 与 $x$ 轴不重合，直线 $A P$ ， $A Q$ 分别与 $y$ 轴交于 $M$ ， $N$ 两点.求证： $| O M | \cdot | O N |$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - m x ， g (x) = - x^{2} - m$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，若 $h (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上有且只有一个零点，求m的取值范围．

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22. 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格 $P (x)$ （元）与时间 $x$ （天）的函数关系近似满足 $P (x) = 1 + \frac{k}{x}$ （ $k$ 为正常数）.该商品的日销售量 $Q (x)$ （个）与时间 $x$ （天）部分数据如下表所示：

$x$ （天）

10

20

25

30

$Q (x)$ （个）

110

120

125

120

已知第10天该商品的日销售收入为121元.

（I）求 $k$ 的值;

（II）给出以下二种函数模型：

① $Q (x) = a x + b$ ，② $Q (x) = a | x - 25 | + b$ ，

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 $Q (x)$ 与时间 $x$ 的关系，并求出该函数的解析式;

（III）求该商品的日销售收入 $f (x) (1 \leq x \leq 30, x \in N^{+})$ （元）的最小值.

（函数 $f (x) = x + \frac{k}{x} (x > 0, k > 0)$ ，在区间 $(0, \sqrt{k})$ 上单调递减，在区间 $(\sqrt{k}, + \infty)$ 上单调递增.性质直接应用.）

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年份	2015	2016	2017	2018	2019
成交额（百亿元）	9	12	17	21	27

$x$ （天）	10	20	25	30
$Q (x)$ （个）	110	120	125	120