浙江省舟山市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x + 2 = 0$ 的倾斜角是（）

A、不存在 B、0° C、90° D、180°

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, \pm 1)$ B、 $(\pm 1, 0)$ C、 $(0, \pm \sqrt{7})$ D、 $(\pm \sqrt{7}, 0)$

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3. 若直线 $l$ 与平面 $α$ 不平行，且直线 $l$ 也不在平面 $α$ 内，则（）

A、 $α$ 内不存在与 $l$ 异面的直线 B、 $α$ 内存在与 $l$ 平行的直线 C、 $α$ 内存在唯一的直线与 $l$ 相交 D、 $α$ 内存在无数条与 $l$ 垂直的直线

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4. 已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则它的表面积是（）

A、2π B、3π C、4π D、5π

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5. 在空间中，设 $m 、 n$ 是不同的直线， $α 、 β$ 表示不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $α // β, m // α$ ，则 $m // β$ B、若 $α ⊥ β, m ⊥ α$ ，则 $m // β$ C、若 $α ⊥ β, m // α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β, m ⊥ α, n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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6. 已知圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 1$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 相切，则实数 $a$ 的取值个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 三棱锥 $P - A B C$ 的各棱长都相等， $D 、 E 、 F$ 分别是 $A B 、 B C 、 C A$ 的中点，下列四个结论中不成立的是（）

A、 $B C / /$ 平面 $P D F$ B、 $D F ⊥$ 平面 $P A E$ C、平面 $P D E ⊥$ 平面 $A B C$ D、平面 $P A E ⊥$ 平面 $A B C$

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8. 双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的上支与焦点为 $F$ 的抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $| A F | + | B F | = 3 | O F |$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9. 如图，棱长为2正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $O$ 为底面 $A C$ 的中心，点 $P$ 在侧面 $B C_{1}$ 内运动且 $D_{1} O ⊥ O P$ ，则点 $P$ 到底面 $A C$ 的距离与它到点 $B$ 的距离之和最小是（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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10. 如图 $F_{1} F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $P ， Q$ 是椭圆上两点，满足 $P F_{2} / / Q F_{1} ， F_{2} P ⊥ F_{2} Q$ ，若 $F_{2} Q = 3 P F_{2}$ ，则直线 $P F_{1}$ 的斜率为（）

A、-1 B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{7}$

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二、填空题

11. 双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的焦距为，渐近线方程为.

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12. 已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 1, 1), \vec{b} = (1, 1, 2)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ ；向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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13. 若过点 $(1 ， 1)$ 的直线 $l$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长最短，则直线l的方程是，此时的弦长为

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14. 已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，它的每条棱长均为2，并且侧面 $A_{1} C$ 与底面 $A B C$ 垂直， $∠ A_{1} A C = 60^{°}$ ，则 $B_{1} C$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值为， $\cos ∠ A_{1} A B =$ ．

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 12 x$ 的焦点恰与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的右焦点 $F_{1}$ 重合， $F_{2}$ 为左焦点；点 $P$ 在双曲线上运动， $⊙ l$ 是 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆，则介于抛物线内部的圆心 $I$ 的轨迹长为．

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16. 如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = 1$ ， $B D = \sqrt{2} ， C D = \sqrt{3} ， B D ⊥ C D$ 将其沿对角线 $B D$ 折成四面体 $A^{'} - B C D$ ，使平面 $A^{'} B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则四面体 $A^{'} - B C D$ 的外接球的球心到平面 $A^{'} C D$ 的距离等于．

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17. 已知 $A 、 B$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上两点，线段 $A B$ 的中点在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上，则直线 $A B$ 在 $y$ 轴上截距的取值范围为.

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三、解答题

18. 已知点 $P (0, a)$ 及圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 3 = 0$ .
（Ⅰ）若点 $P (0, a)$ 在圆 $C$ 内部，求实数 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）当 $a = - 2$ 时，求线段 $P C$ 的中垂线所在直线的方程.

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19. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $2 A A_{1} = 2 A_{1} C_{1} = 2 C_{1} C = A C$ ， $B C = B A$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $D C_{1} / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求证： $B C_{1} ⊥ A_{1} C$ .

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20. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} + 2 \sqrt{2} x - 10 = 0$ 和点 $N (\sqrt{2} ， 0) ， Q$ 是圆 $M$ 上任意一点，线段 $N Q$ 的垂直平分线和 $Q M$ 相交于点 $P$ ，记 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、点 $A$ 是曲线 $E$ 与 $y$ 轴正半轴的交点，过点 $(0 ， 2)$ 的直线交 $E$ 于 $B 、 C$ 两点，直线 $A B ， A C$ 的斜率分别是 $k_{1} ， k_{2}$ ，试探索 $k_{1} \cdot k_{2}$ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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21. 如图矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 2 \sqrt{2}$ ； $E ， Q$ 分别为 $A B ， C D$ 的中点，沿 $E C$ 将点 $B$ 折起至点 $P$ ，连接 $P A ， P D ， P Q$ .

(1)、当 $∠ P E B = 60^{\circ}$ 时，（如图1），求二面角 $P - E C - B$ 的大小；

(2)、当二面角 $P - E C - B$ 等于 $120^{\circ}$ 时（如图2），求 $P D$ 与平面 $P A Q$ 所成角的正弦值.

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22. 如图已知 $P (- 2 ， t)$ 是直线 $x = - 2$ 上的动点，过点 $P$ 作抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，与 $y$ 轴分别交于 $C ， D$ .

(1)、求证：直线 $A B$ 过定点，并求出该定点；

(2)、设直线 $A B$ 与 $x$ 轴相交于点 $Q$ ，记 $A ， B$ 两点到直线 $P Q$ 的距离分别为 $d_{1} ， d_{2}$ ；求当 $\frac{| A B |}{d_{1} + d_{2}}$ 取最大值时 $△ P C D$ 的面积.

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