浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | 1 < x < 3}$ ， $Q = {x | 2 < x < 4}$ ，则 $P \cup Q =$ （）

A、 ${x | 1 < x \leq 2}$ B、 ${x | 2 < x < 3}$ C、 ${x | 3 \leq x < 4}$ D、 ${x | 1 < x < 4}$

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2. 已知 $a \in R$ ，若有 $| a - i | = \sqrt{5}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $a =$ （）

A、1 B、-2 C、±2 D、±1

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3. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 2 \leq 0 \\ x - y + \sqrt{2} \geq 0 \\ x < 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x + y$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， \sqrt{2}]$ B、 $[- 2 ， \sqrt{2})$ C、 $(- \sqrt{2} ， 2]$ D、 $(- \sqrt{2} ， 2)$

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4. 函数 $f (x) = x \cdot \cos x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f (x)$ 与 $f^{'} (x)$ 在一个坐标系中的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在△ABC中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， ${b_{n}}$ 是正项等比数列，若 $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{7} = b_{7}$ ，则（）

A、 $a_{4} = b_{4}$ B、 $a_{5} < b_{5}$ C、 $a_{8} > b_{8}$ D、 $a_{9} < b_{9}$

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7. 已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8. 在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在 $y$ 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是 $x^{2} = 4 y$ ，圆的半径为 $r$ ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点 $O$ ，则圆的半径 $r$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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9. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} B$ 上的动点，则下列结论错误的是（）

A、 $D C_{1} ⊥ P C$ B、异面直线 $A D$ 与 $P C$ 不可能垂直 C、 $∠ D_{1} P C$ 不可能是直角或者钝角 D、 $∠ A P D_{1}$ 的取值范围是 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$

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10. 设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + (8 - a) x - 5 (a \in R)$ ，若存在唯一的正整数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{15} ， \frac{1}{6}]$ B、 $(\frac{1}{15} ， \frac{1}{4}]$ C、 $(\frac{1}{12} ， \frac{1}{3}]$ D、 $(\frac{1}{12} ， \frac{1}{5}]$

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二、填空题

11. 直线 $l : x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为，过 $(2, 0)$ 点且与直线 $l$ 平行的直线方程是.

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12. 双曲线 $C : 2 x^{2} - y^{2} = 1$ 的焦点坐标是；渐近线方程是.

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13. 已知直线 $l ： y = k x + 3 \sqrt{3}$ ，圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ ，若直线 $l$ 是圆 $C$ 的一条对称轴，则实数 $k =$ ；若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $△ A B C$ 的面积是 $\sqrt{3}$ ，则实数 $k =$ .

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14. 已知 $\sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α - \frac{2 π}{3}) =$ ； $\cos (2 α + \frac{2 π}{3}) =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若满足 $A = \frac{π}{4}$ ， $b = 3$ 的 $△ A B C$ 有且仅有一个，则边 $a$ 的取值范围是.

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，且有 $A B = \sqrt{2} B C$ ，沿 $A C$ 将 $△ A D C$ 翻折成 $△ A D^{'} C$ ，当二面角 $D^{'} - A C - B$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ 时，则异面直线 $D^{'} C$ 与 $A B$ 所成角余弦值是.

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17. 设 $△ O A B$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ 且满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} |$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ ，当 $△ O A B$ 面积最大时，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的大小是.

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三、解答题

18. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $c \cdot \cos B = b \cdot (1 - \cos C)$ .
（Ⅰ）求证 $a = b$ ；

（Ⅱ）求 $\cos C - \sin A$ 的取值范围.

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19. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2 C D = 2$ ， $M$ 是线段 $A B$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $C_{1} M / /$ 平面 $A_{1} A D D_{1}$ ；

（Ⅱ）若 $C D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ 且 $C D_{1} = \sqrt{3}$ ，求直线 $D_{1} B_{1}$ 与平面 $C_{1} D_{1} M$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${a_{n}^{2}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $3 T_{n} = S_{n}^{2} + 2 S_{n}$ ， $n \in N *$ .

(1)、求 $a_{1}$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若有 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} - 1}$ ，求证： $b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} < \frac{13}{21}$

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A$ 是椭圆上位于第三象限内的一点，点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \sqrt{5} \vec{A O}$ .过点 $P$ 作一条斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $B$ ， $C$ 两点.

（Ⅰ）若点 $P$ 的坐标为 $(4 ， 1)$

（i）求椭圆的方程；

（ii）求 $△ O B C$ 面积；（用含 $k$ 的代数式表示）

（Ⅱ）若满足 $\vec{B P} = 3 \vec{B C}$ ，求直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率之积.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (x - 1) + \frac{a x^{2} - 1}{x - 1}$

(1)、若 $a = 1$ ，试求 $f (x)$ 在 $(2 ， 3)$ 点处的切线方程；

(2)、当 $a > 0$ 时，试求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(3)、若在定义域上恒有 $f (x) \geq 2 x + 3$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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