浙江省温州市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷(A卷)

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {0,1,2,3,4}$ ，集合 $A = {1,2,3}$ ， $B = {2,4}$ ，则 $(C_{U} B) \cap A =$ （）

A、 ${0,1,2,3}$ B、 ${1,3}$ C、 ${1,2,3,4}$ D、 ${0, 2, 4}$

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2. 下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = x$ D、 $y = \sqrt{x}$

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3. 在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边过点 $P (- \sqrt{3}, 1)$ ，则 $\sin (π - a)$ =（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - x)$ ，则 $f (x^{2})$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(0, 1)$

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5. 已知a，b，c是实数，且a≠0，则“ $\forall x \in R, a x^{2} + b x + c$ <0”是“ $b^{2} - 4 a c$ <0”的是（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知a>0，b>0，a+b=1，则下列等式可能成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} = 1$ B、 $a b = 1$ C、 $a^{2} + b = \frac{1}{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}$

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7. 某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张.用这些钢板制作如图2所示的甲､乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有（）

A、10个 B、15个 C、20个 D、25个

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8. 已知函数 $f (x) = l n (\sqrt{\sin^{2} x + 1} + \sin x) (x \in R)$ ，则存在非零实数 $x_{0}$ ，使得（）

A、 $f (x_{0}) = - 1$ B、 $f (x_{0}) - f (- x_{0}) = 2$ C、 $f (f (x_{0})) = l n (\sqrt{2} + 1)$ D、 $f (π + x_{0}) - f (x_{0}) = \frac{3}{2}$

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9. 已知实数a，b满足0<2a<b<3- $a^{2}$ ，则下列不等关系一定成立的是（）

A、 $\sin a < \sin \frac{b}{2}$ B、 $\cos a^{2} > \cos (3 - b)$ C、 $\sin (a^{2} + b) < \sin 3$ D、 $\cos b > \sin (a^{2} - \frac{3}{2})$

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二、多选题

10. 已知函数 $f (x) = | \log_{2} x |$ 的值域是 $[0 ， 2]$ ，则其定义域可能是（）

A、 $[\frac{1}{8} ， 4]$ B、 $[\frac{1}{4} ， 4]$ C、 $[\frac{1}{4} ， 2]$ D、 $[\frac{1}{2} ， 2]$

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11. 已知 $θ \in (- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ ，且 $\tan θ = m$ ，则下列正确的有（）

A、 $\cos θ = \frac{1}{\sqrt{m^{2} + 1}}$ B、 $\tan (π - θ) = m$ C、 $\tan (θ - \frac{π}{4}) = \frac{1 + m}{1 - m}$ D、 $\tan 2 θ = \frac{2 m}{1 - m^{2}}$

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12. 在同一直角坐标系中，函数 $f (x) = \log_{a} (x - b)$ ， $g (x) = b^{x - a}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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三、填空题

13. 已知 $5^{a} = 3$ ， $3^{b} = 2$ 则 $\log_{5} 10 - a b =$ .

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14. 当 $φ$ =时，函数 $f (x) = \sin (x + φ)$ 在区间 $(\frac{π}{3} ， \frac{4 π}{3})$ 上单调(写出一个值即可).

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15. 某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10 $km$ 处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元.那么两项费用之和的最小值是万元.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + \frac{1}{x} ， 0 < x \leq 1 ， \\ \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} ， x > 1. \end{array}$ 若方程 $f (x) = a (a \in R)$ 有两个不同的实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，且满足 $\frac{1}{2} < x_{1} x_{2} < \frac{2}{3}$ ，则实数a的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知 $a \in R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - a x - 2 = 0}$ .

(1)、若a=1，求 $A \cap B$ ， $C_{R} A$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数a的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cdot \cos (x + \frac{π}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴的方程；

(2)、若 $α \in (0 ， \frac{π}{4})$ ，且 $f (α) = \frac{3}{5}$ ，求 $f (α + \frac{π}{4})$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{2^{x} + 1} + m (m \in R)$ 是奇函数.

(1)、求m的值；

(2)、求不等式 $f (2 x) < 2 f (x)$ 的解集.

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20. 用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合 $c_{1} (t) = \frac{m_{0}}{k V} (1 - 2^{- k t})$ ，其函数图象如图所示，其中V为中心室体积(一般成年人的中心室体积近似为600)， $m_{0}$ 为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合 $c_{2} (t) = c \cdot 2^{- k t}$ ，其中c为停药时的人体血药浓度.

(1)、求出函数 $c_{1} (t)$ 的解析式；

(2)、一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(保留小数点后一位，参考数据lg2≈0.3，lg3≈0.48)

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x + \frac{1}{x} - 2 (x > 0)$

(1)、用定义证明 $f (x)$ 在(0，1)内单调递减；

(2)、证明 $f (x)$ 存在两个不同的零点 $x {}_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 2$ .

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22. 已知定义域为 $[0 ， + \infty)$ 的两个函数 $f (x) = x^{2} + | a x + 1 |$ ， $g (x) =$ $x^{2} + | b x + 1 |$ ，a，b为两个不同的常数.

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、 $\exists x_{0} \in [0, + \infty)$ ，使得对于 $\forall x \in [0, + \infty)$ ， $f (x) \geq f (x_{0})$ ， $g (x) \geq g (x_{0})$ 恒成立，求 $f (x_{0}) + g (x_{0})$ 所有可能的值.

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