浙江省温州市十校联合体2020-2021学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1, - 5)$ ， $\vec{b} = (4, y, z)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $y + z =$ （）

A、-8 B、-12 C、8 D、12

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2. 直线 $x + 2 y + \sqrt{3} = 0$ 的斜率为（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 下列求导运算不正确的是（）

A、 ${(x^{2})}^{'} = 2 x$ B、 ${(e^{x} + \ln 3)}^{'} = e^{x} + \frac{1}{3}$ C、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \ln 3$ D、 ${(\sin x)}^{'} = \cos x$

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4. 已知 $a$ 为实数，则“ $a > 1$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{a - 1} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 表示的曲线为椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知两条相交直线 $m$ ， $n$ 和三个不同的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则下列条件成立推不出 $α // β$ 的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ B、若 $α // γ$ ， $β // γ$ C、若 $m // α$ ， $m // β$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m // β$ ， $n // β$

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6. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (m > 0)$ 的离心率为2，则（）

A、双曲线 $C$ 的实轴长为1 B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $x \pm 2 y = 0$ C、双曲线 $C$ 的焦距为4 D、 $m = 3$

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7. 已知动点 $P (x, y)$ 满足 $\sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}} + \sqrt{x^{2} + {(y + 2)}^{2}} = a + \frac{5}{a}$ ( $a$ 为大于零的常数)﹐则动点 $P$ 的轨迹是（）

A、线段 B、圆 C、椭圆 D、双曲线

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8. 已知点 $P$ 是曲线 $\sqrt{1 - x^{2}} - y = 0$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $3 x - 4 y - 10 = 0$ 距离的取值范围是（）

A、 $[1 ， \frac{7}{5}]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 $[\frac{7}{5} ， \frac{13}{5}]$ D、 $[\frac{7}{5} ， 3]$

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9. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，点 $H$ 在棱 $A A_{1}$ 上，且 $H A_{1} = 1$ ， $P$ 是侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 内一动点，且 $H P = \sqrt{17}$ ，则四面体 $H A_{1} D_{1} P$ 体积的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{17} - 3$

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点，点 $Q$ 是圆 $T ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $\frac{| P F |}{| P Q |}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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二、填空题

11. 若方程 $x^{2} + 2 x + m = - y^{2} + 4 y (m \in R)$ 表示圆，则圆心坐标为，实数 $m$ 的取值范围是.

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12. 直线 $l : y = x + 1$ 与抛物线 $C : y^{2} = - 2 p x (p > 0)$ 交于 $A$ ､ $B$ 两点，若直线 $l$ 经过抛物线 $C$ 的焦点，则 $p =$ ，此时弦 $A B$ 的长度为 $| A B | =$ .

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13. 某几何体的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 $1$ ），则该几何体的体积为，其外接球的半径为.

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14. 曲线 $y = \frac{2}{x} + x^{2}$ 在点 $(1 ， 3)$ 处的切线方程为，函数 $y = \frac{2}{x} + x^{2}$ 的极小值为.

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15. 已知 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 为椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的公共焦点， $P$ 为 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的一个公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{3} π$ ，椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}}$ 的最大值为.

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16. 已知 $a \in R$ ，对于任意的实数 $x \in [1 ， 2]$ ，不等式 $(e^{x} + \frac{1}{e^{x}} - a) (x - a - 1) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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17. 在四面体 $A B C D$ 中， $A D = B C = 4$ ， $A B = C D = 2$ ， $A C = B D = x (x > 0)$ ，当 $x^{2} =$ 时，四面体 $A B C D$ 的体积最大.

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三、解答题

18. 已知 $a > 0$ ，设命题 $p$ ：当 $x \in (- \infty, 1]$ ]时，函数 $f (x) = - x^{2} + a x$ 单调递增，命题 $q$ ：双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的离心率 $e \in [3, + \infty)$ .

(1)、若命题 $p$ 为真命题，求正数 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p$ 和 $q$ 中有且只有一个真命题，求正数 $a$ 的取值范围.

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19. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $G$ 是底面 $△ A B C$ 的重心， $D$ 是线段 $P C$ 上的点，且 $2 P D = D C$ .

(1)、求证： $D G //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $△ P A B$ 是以 $P B$ 为斜边的等腰直角三角形，求异面直线 $D G$ 与 $P B$ 所成角的余弦值.

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20. 如图所示，在直角 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $B C = 6$ ， $D$ 为线段 $A C$ 的中点， $E$ 为线段 $B D$ 的中点.连结 $A E$ 并延长交 $B C$ 于点 $F$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ .

(1)、求证： $E F ⊥ A D$ ；

(2)、若 $M$ 是线段 $A C$ 的中点，求二面角 $C - D F - M$ 的余弦值；

(3)、点 $P$ 在线段 $A C$ 上，且满足 $E P //$ 平面 $D F M$ .求 $\frac{A P}{A C}$ 的值.

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点到准线的距离为2，直线 $l ： y = k x + 2$ 交抛物线于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点.

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $A$ ， $B$ 分别作抛物线 $C$ 的切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，点 $P$ 为直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点.
（i）求证：点 $P$ 在一条定直线上；

（ii）求 $△ P A B$ 面积的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (\ln x + 1) (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、 $a = e$ 时，求证 $f (x) \geq 0$ 恒成立；

(3)、存在 $x_{0} > 1$ ，使得 $x \in (1 ， x_{0})$ 时 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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