四川省遂宁市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 2 \leq x < 1}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2 ， 3}$ ，求 $A \cap B =$ （）

A、{－1，2} B、{－1，0} C、{0，1} D、{1，2}

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2. 下面各组函数中表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x, g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = 2 \log_{2}^{} x, g (x) = \log_{2}^{} x^{2}$ C、 $f (x) = | x |, g (x) = \sqrt{x^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{| x |}{x}, g (x) = {\begin{array}{l} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$

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3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的函数为（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = - \log_{2}^{} x$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = x^{- 2}$

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4. 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程 $f_{i} (x) (i = 1, 2, 3, 4)$ 关于时间 $x （ x > 1 ）$ 的函数关系是 $f_{1} (x) = x^{2}$ ， $f_{2} (x) = 2 x$ ， $f_{3} (x) = \log_{2} x$ ， $f_{4} (x) = 2^{x}$ 如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是（）

A、 $f_{1} (x) = x^{2}$ B、 $f_{2} (x) = 2 x$ C、 $f_{3} (x) = \log_{2} x$ D、 $f_{4} (x) = 2^{x}$

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5. 若函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x - 2$ 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

$f (1) = - 2$

$f (1.5) = 0.625$

$f (1.25) = - 0.984$

$f (1.375) = - 0.260$

$f (1.4375) = 0.162$

$f (1.40625) = - 0.054$

那么方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x - 2 = 0$ 的一个近似根（精确度 $0 .05$ ）可以是（）

A、1.25 B、0.39 C、1.41 D、1.5

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6. 已知 $3^{a} = 4^{b} = 12$ ， $c = \log_{a} b$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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7. 若 $\sin (π - θ) - \sin (\frac{π}{2} - θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，且 $θ \in (\frac{3}{4} π, π)$ ，则 $\sin (π - θ) - \cos (π - θ) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\pm \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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8. 函数 $f (x) = \frac{x^{3} + \sin x}{e^{x} + e^{- x}}$ （e≈2.718281828459）的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若幂函数 $f (x) = q x^{- p^{2} + 2 p + 3} (q \in R, p \in Z)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数，且在定义域上是偶函数，则 $p + q$ =（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 设函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + φ) + 1 (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，其图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，则下列说法正确是（）

A、 $f (x)$ 的图象过点 $(0, \frac{3}{2})$ ； B、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递减； C、 $f (x)$ 的一个对称中心是 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ ； D、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{1}{2} | φ |$ 个单位长度得到函数 $y = 3 \sin 2 x + 1$ 的图象.

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11. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{x}, \begin{matrix} x \geq 1 \end{matrix} \\ (5 - a) x + 1, x < 1 \end{array}$ ，满足对任意不相等的实数 $x_{1} ， x_{2}$ 都有 $(x_{2} - x_{1}) (f (x_{1}) - f (x_{2})) < 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $(5 ， + \infty)$ C、 $[3, 5)$ D、 $(3, 5)$

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12. 设函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A ， ω ， φ$ 是常数， $A > 0 ， ω > 0$ ）.若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 上具有单调性，且 $f (\frac{π}{2}) = - f (\frac{π}{3}) ，$ $f (\frac{π}{2}) = f (\frac{2 π}{3})$ ，则 $ω$ =（）

A、6 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

13. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 16^{x} - 1, \begin{matrix} x \leq 1 \end{matrix} \\ x^{2} + x - 2, x > 1 \end{array}$ ，则 $f (\frac{1}{f (2)})$ = ．

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14. 计算： ${(2.25)}^{- \frac{1}{2}} + {(- 9.6)}^{0} - {(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}} + \log_{25} \frac{1}{2} \cdot \log_{4} 5 =$ ．

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15. 高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数 $f (x) = [x]$ 也应用于生活、生产的各个领域.高斯函数也叫取整函数，其符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如： $[3.14] = 3$ ， $[- 1.6] = - 2$ ，定义函数： $f (x) = \sin (\frac{[x] π}{2})$ ，则 $f (x)$ 值域的子集的个数为：．

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16. 已知方程 $4^{x} - k \cdot 2^{x + 1} - 3 \cdot 2^{x} + 4 = 0 (x > 0)$ 有两个不相等实根，则 $k$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系中，以 $x$ 轴的非负半轴为角的始边，如果角 $α$ 终边与单位圆交于点 $A (- \frac{3}{5,} \frac{4}{5})$ ，角 $β$ 的终边落在射线 $y = x (x > 0)$ 上.

(1)、求 $\sin α \cdot \tan β$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} - α)}{\sin (3 π + α)} + \frac{\sin^{2} (\frac{3 π}{2} - β)}{{sin}^{2} β + 3 \sin β \cos β}$ 的值．

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18. 已知集合 $A = {x | \log_{2} (x + 2 ） < 2}$ ， $B = {x | 3 a - 2 < x < 2 a + 1}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A, B$ 满足：①若 $A \cap B = \emptyset$ ，② $A \cup B = A$ ，从①②中任选一个作为条件，求 $a$ 的取值范围.

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19. 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为 $a$ 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．

(1)、求森林面积的年增长率；

(2)、到今年为止，森林面积为原来的 $\sqrt{2}$ 倍，则该地已经植树造林多少年？

(3)、为使森林面积至少达到 $6 a$ 亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？
（参考数据： $lg 2 = 0.3010$ ， $lg 3 = 0.4771$ ）

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20. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，满足下列条件：① $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2}) - 2$ ② $f (2) = 4$

(1)、是否存在一次函数 $f (x)$ 满足条件①②，若存在，求出 $f (x)$ 的解析式；若不存在，说明理由.

(2)、证明： $g (x) = f (x) - 2$ 为奇函数；

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21. 下图是函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象.

(1)、求 $φ$ 的值及 $f (x)$ 单调递增区间.

(2)、若 $f (x)$ 的图象横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，最后向上平移1个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在 $[0 ， b] (b > 0)$ 上恰有10个零点，求 $b$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{b}{2^{x} + a}$ 为定义在 $R$ 上的奇函数．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明你的结论；

(3)、若 $f (\ln m) + f (\ln m - 1) \leq 1 - 2 \ln m$ ，求 $m$ 的取值范围.

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$f (1) = - 2$	$f (1.5) = 0.625$	$f (1.25) = - 0.984$
$f (1.375) = - 0.260$	$f (1.4375) = 0.162$	$f (1.40625) = - 0.054$