浙江省绍兴市柯桥区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直线l： $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则直线l的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 在空间直角坐标系中，向量 $\vec{a} = (2, - 3, 5)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4, 5)$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(0, 1, 10)$ B、 $(- 4, 7, 0)$ C、 $(4, - 7, 0)$ D、 $(- 4, - 12, 25)$

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3. 已知两条直线 $l_{1}$ ： $m x + y - 1 = 0$ 和 $l_{2}$ ： $x + (m - 2) y + 2 = 0$ 互相垂直，则实数m的值为（）

A、0 B、1 C、0或1 D、2

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4. 某几何体的三视图如图所示(单位： $cm$ )，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{π}{2} {cm}^{3}$ B、 $π {cm}^{3}$ C、 $\frac{3 π}{2} {cm}^{3}$ D、 $\frac{7 π}{4} {cm}^{3}$

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5. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A、 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ β$ ，则 $m // α$ B、 $m // n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、 $m \subset α$ ， $n // β$ ，则 $m // n$ D、 $m // α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$

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6. 已知双曲线C与双曲线 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ 有相同的焦点，且其中一条渐近线方程为 $y = - 2 x$ ，则双曲线C的标准方程是（）

A、 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{8} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$

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7. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + {(y + m)}^{2} = 2$ 与圆 $C_{2} : {(x - m)}^{2} + y^{2} = 8$ 恰有两条公切线，则实数m的取值范围是（）

A、 $1 < m < 3$ B、 $- 1 < m < 1$ C、 $m > 3$ D、 $- 3 < m < - 1$ 或 $1 < m < 3$

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8. 已知在正四面体(各棱长均相等的四面体) $A B C D$ 中， $\vec{C E} = 2 \vec{E B}$ ，则直线 $A B$ 与 $D E$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{11}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

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9. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线交双曲线左支于P，交渐近线 $y = \frac{b}{a} x$ 于点Q，点 $Q$ 在第一象限，且 $F_{1} Q ⊥ F_{2} Q$ ，若 $| P Q | = 2 | P F_{1} |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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10. 已知E，F是四面体的棱 $A B$ ， $C D$ 的中点，过 $E F$ 的平面与棱 $A D$ ， $B C$ 分别相交于G，H，则（）

A、 $G H$ 平分 $E F$ ， $\frac{B H}{H C} = \frac{A G}{G D}$ B、 $E F$ 平分 $G H$ ， $\frac{B H}{H C} = \frac{G D}{A G}$ C、 $E F$ 平分 $G H$ ， $\frac{B H}{H C} = \frac{A G}{G D}$ D、 $G H$ 平分 $E F$ ， $\frac{B H}{H C} = \frac{G D}{A G}$

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二、填空题

11. 已知圆E： ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ ，则该圆的圆心坐标是，半径为.

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12. 已知直线l的斜率为1，过点 $A (0, 2)$ ，则l的方程为，过点 $(\sqrt{3}, 1)$ 且与l平行的直线方程为.

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13. 在空间直角坐标系中，O为坐标原点， $A (a, 1, 0)$ ， $B (0, a, 1)$ ，若 $a = 2$ ，则 $| A B | =$ ，若 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，则 $a =$ .

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14. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，半径为1的扇形，则圆锥的底面半径为，体积为.

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15. 在平面直角坐标系中，已知 $A (1, 0)$ 和 $B (4, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围为.

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16. 已知A､B为抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上的不同的两点，线段 $A B$ 中点为P，若 $| A B | = 6$ ，则点P到x轴距离的最小值为.

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17. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，A，B是椭圆C上两点，且关于点 $M (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ 对称，P是椭圆C外一点，满足 $P A$ ， $P B$ 的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是.

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三、解答题

18. 已知直线l： $k x + y + k + 1 = 0$ ，圆C： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ .

(1)、当 $k = 1$ 时，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；

(2)、若直线l被圆C截得的弦长恰好为 $2 \sqrt{3}$ ，求k的值.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C = P D = D C = 2 A D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，O､E分别是棱 $C D$ ､ $P A$ 的中点.

(1)、求证： $O E //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $P - A B - C$ 的大小.

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20. 如图，三枝锥 $D - A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 1$ ， $B C = C D = D B = \sqrt{2}$ .

(1)、若平面 $B C D ⊥$ 平面 $A B C$ .求证： $A B ⊥ C D$ ；

(2)、若 $A D = 1$ ，求 $C D$ 与平面 $A B C$ 所成的角.

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21. 已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在x轴上，点 $M (m ， 2)$ 在抛物线E上，且 $| M F | = 2$ .

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、已知圆O： $x^{2} + y^{2} = 5$ 交抛物线E与A，B两点，过劣弧 $A B$ 上一点D作圆O的切线l交抛物线E与P，T两点，求 $| P F | + | T F |$ 的取值范围.

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22. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆E： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点.点Q满足：延长 $Q F_{1}$ ， $Q F_{2}$ .分别交椭圆E于M，N两点，且 $△ Q M N$ 的重心P在椭圆E上.直线 $F_{1} P$ 交 $Q N$ 于点S.

(1)、若 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是椭圆长轴的两个端点，求直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 的斜率之积：

(2)、设 $△ Q F_{1} P$ ， $△ P S N$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值.

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