浙江省衢州市五校联盟2020-2021学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B$ （）

A、 ${- 1, 0}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 1, 2}$ D、 ${1, 2}$

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2. 已知实数x、y满足 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 \\ x + y - 4 \geq 0 \\ x \leq 4 \end{array}$ ，则 $3 x + 2 y$ 的最小值为（）

A、-2 B、10 C、12 D、20

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3. 平面上动点 $M$ 到点 $F (2, 0)$ 的距离等于 $M$ 到直线 $l : x = - 2$ 的距离，则动点 $M$ 满足的方程是（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = 8 x$ C、 $x^{2} = 4 y$ D、 $x^{2} = 8 y$

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4. 函数 $f (x) = \frac{2^{- x} - 2^{x}}{| x |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知m，n表示两条不同的直线， $α, β$ 表示两个不同的平面，且 $m ⊥ α, n \subset β$ ，则“ $α ⊥ β$ ”是“ $m / / n$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $\frac{a^{2} + 1}{3 b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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7. 在正四面体 $A B C D$ 中，异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $α$ ，直线 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成的角为 $β$ ，二面角 $C - A B - D$ 的平面角为 $γ$ ，若 $a = \cos α$ ， $b = \cos β$ ， $c = \cos γ$ ．则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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8. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ $π$ Day）．历史上，求圆周率 $π$ 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为 $2 π$ 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， $π$ 的近似值的表达式是（）．

A、 $3 n (\sin \frac{30^{°}}{n} + \tan \frac{30^{°}}{n})$ B、 $6 n (\sin \frac{30^{°}}{n} + \tan \frac{30^{°}}{n})$ C、 $3 n (\sin \frac{60^{°}}{n} + \tan \frac{60^{°}}{n})$ D、 $6 n (\sin \frac{60^{°}}{n} + \tan \frac{60^{°}}{n})$

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9. 如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中， $A D ⊥ B C ， B C = 1 ， A D = 1$ ．且 $A B + B D = A C + C D = 2$ ，则四面体 $A B C D$ 的体积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{24}$

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10. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 1 - 2 | x - \frac{1}{2} |$ ，当 $x \in (- \infty ， - 1]$ ， $f (x) = 1 - e^{- 1 - x}$ ，若关于x的不等式 $f (x - m) \geq f (x)$ 恒成立，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， - \ln 2 - \frac{1}{2}] \cup [1 ， \ln 2 + \frac{1}{2}]$ C、 $(- \infty ， - \ln 2 - \frac{1}{2}]$ D、 $(- \infty ， - 2]$

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二、填空题

11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则 $C$ 的右焦点的坐标为， $C$ 的左焦点到其渐近线的距离是．

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12. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是，表面积是．

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13. 已知直线 $l : m x + y - 2 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - m)}^{2} = 2$ ，若 $m = 2$ ，直线l与圆相交于A，B两点，则 $| A B | =$ ，若直线l与圆相切，则实数 $m =$ ．

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14. 已知 $x \in R$ ，则函数 $f (x) = \sin x - 2 | \cos x |$ 的最小正周期 $T =$ ， $f (x)$ 的值域是．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $\cos C = \frac{2}{3}$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，则 $\sin B =$ .

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 6$ ， $A D = 1$ ，若M，N是线段 $B C$ 上的动点，且 $| \vec{M N} | = 1$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N}$ 的取值范围为．

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17. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = | x^{2} + \frac{9}{x^{2}} + a | - a$ 在区间 $[- 3, - 1]$ 上的最大值10，则a的取值范围是．

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三、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a \sin B - b \cos C = c \cos B$ ．

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状．

(2)、若 $f (x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x$ ，求 $f (A)$ 的取值范围．

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19. 如图，在平面四边形 $A^{'} A B C$ 中， $∠ C A B = ∠ C A^{'} A = 90^{\circ}$ ，M在直线 $A C$ 上， $A^{'} A = A^{'} C$ ， $A B = A M = M C$ ， $△ A^{'} A C$ 绕 $A C$ 旋转．

(1)、若 $△ A^{'} A C$ 所在平面与 $△ A B C$ 所在平面垂直，求证： $A^{'} C ⊥$ 平面 $A^{'} A B$ ．

(2)、若二面角 $A^{'} - A C - B$ 大小为 $60^{\circ}$ ，求直线 $A^{'} B$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值．

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20. 在公差为d的等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 10$ ，且 $a_{1}$ ， $2 a_{2} + 2$ ， $5 a_{3}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $d < 0$ ， $b_{n} = \frac{| a_{n} - 9 |}{3^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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21. 如图，已知曲线 $C_{1} ： y^{2} = 4 x$ ，曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点是 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $F_{2}$ 也是 $C_{1}$ 的焦点，点P是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的在第一象限内的公共点且 $| P F_{2} | = \frac{5}{3}$ ，过 $F_{2}$ 的直线l分别与曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 交于点A，B和M，N．

(1)、求点P的坐标以及 $C_{2}$ 的方程；

(2)、若 $△ F_{1} A B$ 与 $△ F_{1} M N$ 面积分别是 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{3} + k \ln x (k \in R)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

(1)、当 $k = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $k = 6$ 时，求函数 $g (x) = f (x) - f^{'} (x) + \frac{9}{x} - 1$ 的单调区间和极值；

(3)、当 $k \geq - 3$ 时，求证：对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [1 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，有 $\frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2} > \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ．

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