四川省南充市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1}, B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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2. $\cos 210^{°} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ （）

A、5 B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1), \vec{b} = (3, 5)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(- 8, - 9)$ B、 $(- 4, - 9)$ C、 $(- 5, - 6)$ D、 $(8, 11)$

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5. 若函数 $f (x) = a^{x} - x - a$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）有两个不同零点，则a的取值范围是（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1)$

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6. 角 $α$ 的终边上有一点 $P (a, a)$ ， $(a \neq 0)$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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7. 为了得到函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象，可以将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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8. 已知f（x）= $x^{5}$ +a $x^{3}$ +bx-8，且f（-2）=10，那么f（2）等于（）

A、-26 B、-18 C、-10 D、10

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9. 已知 $\tan α = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin^{2} α + \sin α \cos α =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 给定集合 $A$ ， $B$ ，定义 $A * B = {x | x = m - n, m \in A, n \in B}$ ，若 $A = {4, 5, 6}$ ， $B = {1, 2, 3}$ ，则集合 $A * B$ 中的所有元素之和为（）

A、15 B、14 C、27 D、-14

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11. 已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是单位向量， $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = - \frac{2}{3}$ ，若平面向量 $\vec{a}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{e_{1}} = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{e_{2}} = 2$ 且 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则 $x + y =$ （）

A、9 B、8 C、7 D、6

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12. 已知定义在R上的函数 $f (x) = 2^{| x - m |} - 1$ （m为实数）为偶函数，记 $a = f (\log_{0.5} 3) ， b = f (\log_{2} 5) ， c = f (2 m)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, m), \vec{b} = (2, - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 若 $\sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{12}{13}$ ，则 $\cos (α - \frac{π}{6}) =$ ．

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15. 幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2, \frac{1}{4})$ ，则 $f (- 3)$ =.

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16. 函数 $f (x)$ 的定义域为R，满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ ，若对任意的 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{8}{9}$ ，则m的取值范围是

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \sqrt{x + 2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若 $a > 0$ ，求 $f (a - 1)$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = a x + b$ 是R上的奇函数，且 $f (1) = 2$ ．

(1)、求a，b；

(2)、用函数单调性的定义证明 $f (x)$ 在R上是增函数．

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19. 已知 $| \vec{a} | = 4 ， | \vec{b} | = 3 ， (2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为θ；

(2)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(3)、若 $\vec{A B}$ ＝ $\vec{a}$ ， $\vec{B C}$ ＝ $\vec{b}$ ，求△ABC的面积．

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20. 设函数 $f (x) = 2 \sin (2 ω x - \frac{π}{6}) + m$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称，其中 $0 < ω < \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(π ， 0)$ ，求 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{3 π}{2}]$ 上的值域；

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21. 已知二次函数 $y = f (x)$ 的图象以原点为顶点且过点 $(1, 1)$ ，函数 $g (x) = \frac{k}{x}$ 的图象过点 $(1, 8), h (x) = f (x) + g (x)$ ．

(1)、求 $h (x)$ 的解析式；

(2)、证明：当 $m > 3$ 时，函数 $H (x) = h (x) - h (m)$ 有三个零点．

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22. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | 2 m - 1 < x < m + 1}$ ，且 $B \subseteq A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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23. 若 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 时， $k + \tan (2 x - \frac{π}{3})$ 的值总不大于零，求实数k的取值范围．

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