吉林省长春市农安县五校联考2020-2021学年高二上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 某班有男生28人，女生16人，用分层抽样的方式从中抽取容量为 $n$ 的样本，若男生抽取了7人，则 $n$ 的值为（）

A、10 B、11 C、12 D、14

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3. 抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点P到x轴的距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为（）

A、8 B、20 C、22 D、24

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4. 一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移s与时间t的关系是 $s = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{5}{2} t^{2} + 6 t$ ，那么速度为零的时刻是（）

A、1秒末 B、2秒末 C、3秒末 D、2秒末或3秒末

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5. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 ⩽ 0$ ”的否定是 $($ $)$

A、不存在 $x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 ⩽ 0$ B、存在 $x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 ⩽ 0$ C、对任意的 $x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 > 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 > 0$

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6. 直线 $y = x$ 与曲线 ${\begin{array}{l} x = 3 \cos α \\ y = 3 \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数)的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{m + 4} = 1$ 的焦距为2，则实数 $m$ 的值为（）

A、1 B、4 C、1或7 D、4或6

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8. 下列说法正确的是（）

A、“ $x > 1$ ”是“ $x \geq 1$ ”的充分不必要条件. B、若 $p \land q$ 为假命题,则 $p$ , $q$ 均为假命题. C、命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ,则 $x = 1$ ”的逆否命题为:“若 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ,则 $x \neq 1$ ”. D、命题 $p$ : $\exists x \in R ，$ 使得 $x^{2} + x + 1 \leq 0$ ,则 $\neg p$ : $\forall x \in R ，$ 均有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ .

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9. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $S = \frac{3}{10}$ ，则①处应填写（）

A、 $k < 3 ?$ B、 $k ⩽ 3 ?$ C、 $k ⩽ 5 ?$ D、 $k < 5 ?$

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10. 在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M (- \sqrt{3}, - 1)$ .以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系（ $0 \leq θ < 2 π$ ），则点 $M$ 的极坐标为（）

A、 $(2, \frac{π}{6})$ B、 $(2, \frac{π}{3})$ C、 $(2, \frac{7 π}{6})$ D、 $(2, \frac{4 π}{3})$

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11. 某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为 $8 : 00 ~ 8 : 40$ ，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在 $9 : 10 ~ 10 : 00$ 之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12. 设函数 $f (x)$ ＝ $(x - a) {(x - b)}^{2} (a ， b \in R ， a \neq b)$ ， $f' (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．若 $f (x)$ 和 $f' (x)$ 的零点均在集合 ${- 2 ， 0 ， 1}$ 中，则 $f (x)$ （）

A、在 $(- 1 ， 0)$ 上单调递增 B、在 $(0 ， 1)$ 上单调递增 C、极小值为 $0$ D、最大值为4

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x f^{'} (2021) + 2021 \ln x$ ，则 $f^{'} (2021) =$ .

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14. 在极坐标系中，点 $P (2 ， - \frac{π}{3})$ 到圆 $ρ = - 2 cos θ$ 的圆心的距离为

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15. 在某项技能测试中，甲乙两人的成绩(单位：分)记录在如图所示的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母a代替.已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲成绩的中位数为.

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16. 已知中心在原点，焦点在 $x$ 轴上的双曲线的离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，其焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，则此双曲线的方程为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 2$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间.

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18. 已知抛物线 $C$ ： $y = 2 x^{2}$ 和直线 $l$ ： $y = k x + 1$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、若抛物线 $C$ 的焦点到直线 $l$ 的距离为 $\frac{7}{16}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 与直线 $y = 2 x$ 平行，求直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交所得的弦长.

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19. 受新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟了2020年的春季开学时间，某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程该学校为了了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了100名学生对该线上课程进行评分.其频率分布直方图如图.

(1)、求图中a的值；

(2)、以频率当作概率，若采用分层抽样的方法，从样本评分在 $[60 ， 70)$ 和 $[90 ， 100]$ 内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在 $[60 ， 70)$ 内的概率.

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20. 已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 2 t \\ y = t \end{array}$ ( $t$ 为参数)，以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ + 4 \sin θ .$

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和圆 $C$ 的直角坐标方程;

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，求 $| A B | .$

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21. 在边长分别为6 $dm$ 和4 $dm$ 的长方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿图中虚线折起，做成一个无盖的长方体铁皮箱切去的正方形边长为多少时，铁皮箱的容积最大？

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22. 已知椭圆 $C_{1}$ 的焦点在x轴上，满足短轴长等于焦距，且长轴两端点与上顶点构成的三角形面积为 $16 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程及离心率；

(2)、若双曲线 $C_{2}$ 与（1）中椭圆 $C_{1}$ 有相同的焦点，且过点 $P (6, 2 \sqrt{2})$ ，求双曲线 $C_{2}$ 的标准方程.

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