浙江省宁波市九校2020-2021学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm 3 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{3} x$

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2. 若复数z满足 $z + (5 - 6 i) = 3$ ，则z的虚部是（）

A、 $- 2 i$ B、 $6 i$ C、1 D、6

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3. 已知向量 $\vec{a} = (4, 4, 5)$ ， $\vec{b} = (- 7, x, y)$ 分别是直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的方向向量，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则下列几组解中可能正确的是（）

A、 $x = 2, y = 4$ B、 $x = 4, y = 3$ C、 $x = 1, y = 3$ D、 $x = 6, y = 2$

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4. 在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设m，n是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（）
① $\begin{array}{l} m ⊥ n \\ n \subset α \end{array}} \Rightarrow m ⊥ α$ ② $\begin{array}{l} m ⊥ α \\ m \subset β \end{array}} \Rightarrow α ⊥ β$ ③ $\begin{array}{l} m ⊥ α \\ n ⊥ α \end{array}} \Rightarrow m // n$ ④ $\begin{array}{l} m \subset α \\ n \subset β \\ α // β \end{array}} \Rightarrow m // n$

A、①② B、①④ C、②③ D、②④

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6. 已知 $O - A B C$ 为空间四面体， $P$ 为底面 $A B C$ 上一点，且满足 $2 \vec{A P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则以下等式一定成立的是（）

A、 $x + y + z = 1$ B、 $x + y + z = 0$ C、 $x + y + z = - 1$ D、 $x + y + z = \frac{1}{2}$

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7. 设双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，若点P在双曲线上，且 $△ F_{1} P F_{2}$ 为锐角三角形，则 $| P F_{1} | + | P F_{2} |$ 的取值范围是（）

A、 $(4 \sqrt{2} ， 6)$ B、 $(6 ， 8)$ C、 $(4 \sqrt{2} ， 8)$ D、 $(6 ， 10)$

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8. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，若椭圆 $C_{1}$ 离心率记为 $e_{1}$ ，双曲线 $C_{2}$ 离心率记为 $e_{2}$ ，则 $27 e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值为（）

A、25 B、100 C、9 D、36

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9. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M是底面正方形 $A B C D$ 的中心，点P是底面 $A B C D$ 所在平面内的一个动点，且满足 $∠ M C_{1} P = 30 °$ ，则动点P的轨迹为（）

A、圆 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆

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10. 已知椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过右焦点F且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线与椭圆C交于A，B两点，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 和 $A B$ 于点P和M，若 $3 | A B | = 4 | P M |$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

11. 复数 $z_{1} = 1 + i, z_{2} = 3 - 2 i$ ，则 $| z_{1} | =$ ， $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$ ．

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12.

(1)、方程 $\frac{x^{2}}{a + 1} + \frac{y^{2}}{4 - a} = 1$ 表示的曲线是双曲线，则实数a的取值范围为；

(2)、若双曲线C： $\frac{x^{2}}{a + 1} + \frac{y^{2}}{4 - a} = 1$ 的焦点坐标为 $(0, \pm 5)$ ，则实数a的值为．

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13. 已知某几何体的三视图如图所示（单位： $cm$ ），则该几何体的表面积为 ${cm}^{2}$ ，体积为 ${cm}^{3}$ ．

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14. 已知过点 $A (- 3, 0)$ ，且斜率为k的动直线l与抛物线 $C : x^{2} = 2 y$ 相交于B，C两点，则k的取值范围为；若N为抛物线C上一动点，M为线段 $A N$ 中点，则点M的轨迹方程为．

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15. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 2$ ， $∠ B A D = 90^{\circ}$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{\circ}$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值是．

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16. 若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ，空间向量 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{c} | = 8$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c} = 4$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c} = 5$ ，则对任意的实数 $t_{1}, t_{2}$ ， $| \vec{c} - t_{1} \vec{a} - t_{2} \vec{b} |$ 的最小值是．

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17. 已知椭圆： $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，不过点 $Q (\sqrt{2}, 1)$ 的动直线l交椭圆于A，B两点，且 $A Q ⊥ B Q$ ，则直线l过定点．

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三、解答题

18. 已知命题p：若复数z满足 $| z - 3 + 4 i | + | z + 3 - 4 i | = 2 a$ ，则复数z在复平面上对应点的轨迹为椭圆．命题q：函数 $f (x) = - x^{2} + x + a$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上存在零点．

(1)、若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)、若命题p，q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．

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19. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $P A = A B = B C$ ，点M在线段 $P B$ 上，且 $2 P M = M B$ ．

(1)、试在线段 $P C$ 上找一点N，使 $B C //$ 平面 $A M N$ ，并说明理由；

(2)、试求直线 $A M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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20. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，抛物线上的点 $A$ 到 $y$ 轴的距离为 $| A F | - 1$ ． $A B$ 为抛物线的焦点弦，点 $M$ 在抛物线的准线上， $O$ 为坐标原点．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、连接 $M A$ ， $M F$ ， $M B$ ，分别将其斜率记为 $k_{1}$ ， $k$ ， $k_{2}$ ，试问 $\frac{k_{1} + k_{2}}{k}$ 是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

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21. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ，以 $B C$ 为边在平面 $A B C$ 内作如图所示的等边 $△ B C D$ ，E为 $B C$ 边上一点，且 $E C = 2 B E$ ，F为线段 $A C$ 上的点，现沿 $B F$ 将 $△ A B F$ 折起，使A点到达位置 $A^{'}$ ，且 $A^{'}$ 点在平面 $B C D$ 内的射影恰为E点．

(1)、求证： $D F ⊥ A^{'} B$ ；

(2)、求二面角 $B - A^{'} D - C$ 的平面角的余弦值．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，A为椭圆的上顶点．过原点的直线与圆O交于点M，N两点，且点M在第一象限，直线 $A M$ 与椭圆C的另一交点为P，直线 $A N$ 与椭圆C的另一交点为Q．

(1)、若 $| A P | = 2 | A M |$ ，求直线 $A M$ 的斜率；

(2)、设 $△ A M N$ 与 $△ A P Q$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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