吉林省长春市农安县五校联考2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷（A卷）

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 对于实数 $a ， b ， c$ ，“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”是“ $a > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 从编号为01，02，…，88的88个新型冠状病毒肺炎患者中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中连续的三个编号依次为24， $m$ ，46，则 $m =$ （）

A、34 B、35 C、36 D、37

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3. 已知抛物线C： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）的准线为l，圆M： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ 与l相切，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 ⩽ 0$ ”的否定是 $($ $)$

A、不存在 $x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 ⩽ 0$ B、存在 $x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 ⩽ 0$ C、对任意的 $x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 > 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 > 0$

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5. 已知空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在OA上，且 $O M = 2 M A$ ，N为BC的中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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6. 曲线 ${\begin{array}{l} x = 2 + \cos θ \\ y = - 1 + s i n θ \end{array} (θ$ 为参数)的对称中心（）

A、在直线 $y = \frac{1}{2} x$ 上 B、在直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 上 C、在直线 $y = x - 1$ 上 D、在直线 $y = x + 1$ 上

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7. 已知命题 $p$ ：在 $△ A B C$ 中，若 $\cos A = \cos B$ ，则 $A = B$ ；命题 $q$ ：向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 相等的充要条件是 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ 且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，下列四个命题是真命题的是（）

A、 $p \land (\neg q)$ B、 $(\neg p) \land (\neg q)$ C、 $(\neg p) \land q$ D、 $p \land q$

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8. 某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）

A、s≤ $\frac{3}{4}$ ? B、s≤ $\frac{5}{6}$ ? C、s≤ $\frac{11}{12}$ ? D、s≤ $\frac{25}{24}$ ?

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10. 在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M (- \sqrt{3}, - 1)$ .以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系（ $0 \leq θ < 2 π$ ），则点 $M$ 的极坐标为（）

A、 $(2, \frac{π}{6})$ B、 $(2, \frac{π}{3})$ C、 $(2, \frac{7 π}{6})$ D、 $(2, \frac{4 π}{3})$

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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12. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ， $A D = 1$ ， $E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $B D_{1}$ 与 $A E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{18}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{18}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{18}$ D、 $\frac{3 \sqrt{18}}{18}$

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二、填空题

13. 设平面 $α$ 与向量 $\vec{a} = (- 1, 2, - 4)$ 垂直，平面 $β$ 与向量 $\vec{b} = (2, 3, 1)$ 垂直，则平面 $α$ 与 $β$ 的位置关系是．

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14. 图是甲、乙两人在 $5$ 次综合测评中的成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.

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15. 在极坐标系中，点 $P (2 ， - \frac{π}{3})$ 到圆 $ρ = - 2 cos θ$ 的圆心的距离为

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16. 若中心在原点，焦点在 $y$ 轴上的双曲线离心率为 $\sqrt{3}$ ，则此双曲线的渐近线方程为.

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三、解答题

17. 已知 $p : x^{2} - 4 x + 3 \leq 0$ ， $q : (x + 1) (x - m) < 0$ .

(1)、若 $m = 2$ ， $q$ 为真命题，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知抛物线 $C$ ： $y = 2 x^{2}$ 和直线 $l$ ： $y = k x + 1$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、若抛物线 $C$ 的焦点到直线 $l$ 的距离为 $\frac{7}{16}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 与直线 $y = 2 x$ 平行，求直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交所得的弦长.

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19. 某中学举行了一次“交通安全知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

组别	分组	频数	频率
第1组	[50，60）	8	0.16
第2组	[60，70）	a	▓
第3组	[70，80）	20	0.40
第4组	[80，90）	▓	0.08
第5组	[90，100]	2	b
	合计	▓	▓

(1)、写出

a ， b ， x ， y

的值；

(2)、若现在需要采用分层抽样的方式从5个小组中抽取25人去参加市里的抽测考试，则第1，2，3组应分别抽取多少人？

(3)、在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加交通安全知识的志愿宣传活动．求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率．

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20. 已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ .

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (0, - 1)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于点 $A$ ， $B$ ，求 $| P A | + | P B |$ .

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 焦点为 $F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0)$ 且过点 $(- 2, 3)$ ，椭圆上一点 $P$ 到两焦点 $F_{1}$ , $F_{2}$ 的距离之差为2，

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、求 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积.

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22. 如图，在以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的多面体中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{6}$ ， $E A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $F D // E A$ ， $E A = \frac{1}{2} F D = \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $B E //$ 平面 $C D F$ ；

(2)、求二面角 $C - E F - D$ 的余弦值.

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