浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 过点 $(1, 1)$ 且与 $y$ 轴垂直的直线的方程为（）

A、 $x = 1$ B、 $y = 1$ C、 $y = x$ D、 $y = 2 x - 1$

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2. 已知非零空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，若 $\vec{a} // \vec{c}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，且 $\vec{a} = (x, - 2, - 4)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2, 4)$ ，则 $x =$ （）

A、4 B、2 C、-4 D、-2

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3. 已知点 $A (1, - 1)$ ， $B (- 2, 3)$ 在直线 $x + y - b = 0$ 的两侧，则实数 $b$ 的取值范围为（）

A、 $b > 1$ B、 $b < 1$ C、 $0 < b < 1$ D、 $b > 1$ 或 $b < 0$

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4. 已知两条不重合直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，则“ $l_{1} // l_{2}$ ”是“ $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率相等”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知双曲线 $G : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，若点 $P$ 在 $G$ 的右支上，且 $| P F_{2} | = 1$ ，则 $| P F_{1} | =$ （）

A、3 B、5 C、 $2 \sqrt{5} - 1$ D、 $2 \sqrt{5} + 1$

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6. 设 $l$ ， $m$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，（）

A、若 $l ⊥ m$ ， $m // α$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l // β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $l ⊥ m$ ， $m ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ α$ D、若 $l ⊥ β$ ， $m ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $l ⊥ α$

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7. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $G : \frac{x^{2}}{5^{2}} + \frac{y^{2}}{4^{2}} = 1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 作直线 $l$ 交 $G$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = \frac{32}{5}$ ，则 $△ F_{2} A B$ 的面积为（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{48}{5}$ C、 $\frac{96}{5}$ D、 $\frac{16 \sqrt{41}}{5}$

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8. 已知集合 $M = {(x ， y) | x - 3 y + 1 \geq 0 ， x + y - 3 \leq 0 ， x ， y \in R}$ ，若 $a ， b \in R$ ，且 $(a ， b) \in M$ ，则 $2 b - a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 3]$ D、 $(- \infty ， + \infty)$

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9. 已知双曲线 $M : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线互相垂直，且其中一个焦点到其中一条渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，则双曲线 $M$ 的其中一个顶点到其中一条渐近线的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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10. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 的底面 $B C D$ 在平面 $α$ 内，所有棱均相等， $E$ 是棱 $A C$ 的中点，若三棱锥 $A - B C D$ 绕棱 $C D$ 旋转，设直线 $B E$ 与平面 $α$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\cos θ$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{6} ， 1]$ B、 $[\frac{5}{6} ， 1]$ C、 $[0 ， \frac{\sqrt{11}}{6}]$ D、 $[0 ， \frac{\sqrt{33}}{6}]$

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二、填空题

11. 在空间中，两个不同平面把空间最少可分成部分，最多可分成部分.

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12. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的虚轴长等于，离心率 $e =$ .

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13. 已知空间四个不同的点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，若 $C$ 是线段 $A B$ 的中点，且 $A (- 1, 1, 3)$ ， $B (3, - 1, 1)$ ， $D (- 2, 4, 2)$ ，则 $C$ 的坐标为， $| \vec{C D} | =$ .

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14. 如果原命题 $P$ 是“若 $c < 0$ ，则抛物线 $y = x^{2} - x + c$ 与 $x$ 轴有两个不同交点”，那么 $P$ 的逆否命题可表示为，而 $P$ 的否命题是个命题.(填“真”，“假”之一)

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15. 设抛物线 $C ： x^{2} = - 4 y$ ，点 $M (m ， 0)$ ( $m$ 是常数)，过点 $M$ 作一直线 $l$ ，若 $l$ 与 $M$ 有且只有一个公共点，则这样的直线 $l$ 共有条.

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16. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，经过顶点 $A$ 作一个平面 $α$ ，使得 $α //$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ ，若 $α \cap$ 平面 $A B C D = l_{1}$ ， $α \cap$ 平面 $A B B_{1} A_{1} = l_{2}$ ，则异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 所成的角的余弦值为.

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17. 已知直线 $l_{1} ： y = \frac{1}{2} k x - k + 4$ ，直线 $l_{2} ： y = - \frac{2}{k^{2}} x + \frac{4}{k^{2}} + 4 (k \neq 0)$ ，若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与两坐标轴围成一个四边形，则当 $k > 4$ 时，这个四边形面积的取值范围是.

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三、解答题

18. 如图，已知直线 $l //$ 平面 $α$ ，相异四点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 满足： $A \in l$ ， $C \in l$ ， $B \in α$ ， $D \in α$ .

(1)、判断空间直线 $A C$ 与 $B D$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $A B$ // $C D$ ，求证： $A B = C D$ .

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19. 已知直线 $l : y = k x + 1 (k \in R)$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 相交于 $A$ ， $B$ 不同两点.

(1)、若 $k \in N^{*}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、设 $M$ 是圆 $C$ 上的一动点(异于 $A$ ， $B$ )， $O$ 为坐标原点，若 $\vec{A O} \cdot \vec{B O} = 12$ ，求 $△ M A B$ 面积的最大值.

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20. 如图，五面体 $E A B C D$ 中，平面 $E A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为矩形， $△ E A B$ 为等腰三角形，且顶角 $∠ E A B = 120 °$ ， $B E = 4 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ，又 $G$ ， $F$ 分别是 $A E$ ， $B E$ 的中点，点 $H$ 在线段 $B C$ 上运动(异于端点).

(1)、求证： $C D //$ 平面 $H G F$ ；

(2)、设 $\vec{B H} = λ \vec{B C}$ ，若二面角 $B - F G - H$ 的大小为30°，求 $λ$ 的值.

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21. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 和直线 $l : x - y - 1 = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且抛物线 $C$ 的焦点在直线 $l$ 上.

(1)、求 $| A B |$ ；

(2)、设圆 $M$ 经过 $A$ ， $B$ 两点，且与抛物线 $C$ 的准线相切，求圆 $M$ 的方程

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22. 已知椭圆 $G$ 的中心在原点，对称轴是坐标轴，且 $G$ 的四个顶点构成的四边形面积等于1，离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $G$ 的方程；

(2)、当椭圆 $G$ 的长轴在 $x$ 轴上时，若椭圆 $G$ 与直线 $l : x = m y + λ$ ( $λ$ ， $m$ 为常数)相交于不同两点 $A$ ， $B$ ，记直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $M$ ，且 $\vec{A M} = 2 \vec{M B}$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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