湖南省长沙市望城区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $b > 0 > a$ ，下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $\frac{a}{b} < 1$ C、 $\frac{b}{a} > 1$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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2. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 1$ ， $a_{4} = 5$ ，则公差 $d$ 等于（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 命题“ $\forall x \in [0, + \infty), x^{3} + x \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (- \infty, 0), x^{3} + x < 0$ B、 $\forall x \in (- \infty, 0), x^{3} + x \geq 0$ C、 $\exists x_{0} \in [0, + \infty), x_{0}^{3} + x_{0} < 0$ D、 $\exists x_{0} \in [0, + \infty), x_{0}^{3} + x_{0} \geq 0$

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4. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的实轴长为2，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm x$

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5. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x - 12 \leq 0}$ ， $B = {x | 4 x - 4 > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 < x \leq 2}$ B、 ${x | x \geq - 2}$ C、 ${x | 1 < x \leq 6}$ D、 ${x | x \geq - 6}$

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6. 设｛a_n｝是等比数列，则“a₁＜a₂＜a₃”是数列｛a_n｝是递增数列的

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件、 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若对 $\forall t \in (0, + \infty)$ ，都有 $\frac{x^{2}}{x + 3} < \frac{{(t + 1)}^{2}}{t}$ 成立，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, 6)$ B、 $(- \infty, - 3) \cup (- 2, 6)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (- 2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (- 2, + \infty)$

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8. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上一点 $M$ 关于原点的对称点为 $N$ ， $F$ 为椭圆的一个焦点，若 $\vec{M F} \cdot \vec{N F} = 0$ ，且 $∠ M N F = \frac{π}{3}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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二、多选题

9. 在公比为 $q$ 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = 1, a_{5} = 27 a_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = 3$ B、数列 ${S_{n} + 2}$ 是等比数列 C、 $S_{5} = 121$ D、 $2 \lg a_{n} = \lg a_{n - 2} + \lg a_{n + 2} (n \geq 3)$

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10. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小值为4 B、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，有 $f (x) \geq 4$ C、当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时，有 $f (x) \leq - 4$ D、当 $x \in (2 ， + \infty)$ 时， $f (x)$ 的最小值是4

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11. 已知曲线 $C : m x^{2} + n y^{2} = 1$ ．则下列结论正确的是：（）

A、若 $m > n > 0$ ，则 $C$ 是椭圆，其焦点在 $y$ 轴上 B、若 $m = n > 0$ ，则 $C$ 是圆，其半径为 $\sqrt{n}$ C、若 $m n < 0$ ，则 $C$ 是双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{- \frac{m}{n}} x$ D、若 $m = 0, n > 0$ ，则 $C$ 是两条直线

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12. 已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $\frac{f^{'} (x) - f (x)}{x - 1} > 0$ ，对于函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ，下列结论正确的是（）

A、函数g(x)在(1，+∞)上为单调递增函数 B、x=1是函数g(x)的极小值点 C、函数g(x)至多有两个零点 D、当x≤0时，不等式 $f (x) \leq e^{x}$ 恒成立

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三、填空题

13. 抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上一点 $(2, t)$ 到点 $(\frac{p}{2}, 0)$ 的距离等于3，则 $p =$ ．

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14. 十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载填发明的.明万历十二年（公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为.

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15. 已知 $\vec{u} = (3, a + b, a - b) (a, b \in R)$ 是直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n} = (1, 2, 3)$ 是平面 $α$ 的法向量，如果 $l ⊥ α$ ，则 $a + b =$

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16. 已知 $a ， b$ 为正实数，直线 $y = x - a + 2$ 与曲线 $y = e^{x + b} - 1$ 相切，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 12 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 3]$ 上的最大值和最小值．

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18. 条件①：设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n} + k (n \in N_{+}, k \in R), a_{1} = 1$ ．
条件②：对 $\forall n \in N_{+}$ ，有 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q > 1$ （ $q$ 为常数）， $a_{3} = 4$ ，并且 $a_{2} - 1, a_{3}, a_{4} - 1$ 成等差数列．在以上两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答．

在数列 ${a_{n}}$ 中，_____________．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、记 $T_{n} = a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots \dots + n a_{n}$ ，求 $T_{10}$ 的值．

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19. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点， $O$ 为 $A E$ 的中点，以 $A E$ 为折痕将 $Δ A D E$ 向上折起，使 $D$ 点折到 $P$ 点，且 $P C = P B$ .

(1)、求证： $P O ⊥$ 面 $A B C E$ ；

(2)、求 $A C$ 与面 $P A B$ 所成角 $θ$ 的正弦值.

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20. 某商家耗资4500万元购进一批 $V R$ （虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始投入使用，由于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用200万元，从第二年开始，每年的维修保并费用比上一年增40万元.该设备使用后，每年的总收入为2800万元.

(1)、求盈利额 $y$ （万元）与使用年数 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？

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21. 已知四点 $P_{1} (1, \frac{\sqrt{2}}{2}), P_{2} (- 1, - \frac{\sqrt{2}}{2}), P_{3} (1, 1), P_{4} (0, 1)$ 中恰有三点在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上，其中 $a > b > 0$ ．

(1)、求 $\begin{array}{l} a, b \end{array}$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 过定点 $M (2, 0)$ 且与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $l$ 与 $x$ 轴不重合），点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $D$ ．探究：直线 $A D$ 是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = m x^{2} - \ln x ， g (x) = \frac{1}{2} m x^{2} + x ， m \in R ， F (x) = f (x) - g (x)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间及极值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $F (x) + m x - 1 \geq 0$ 恒成立，求整数 $m$ 的最小值．

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