湖南省常德市2020-2021学年高二上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $z = 1 + i$ ，则 $| z^{2} - z | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 命题“若函数 $f (x)$ 是奇函数，则 $f (x)$ 图象过原点”的否命题是（）

A、若函数 $f (x)$ 是偶函数，则 $f (x)$ 图象不过原点 B、若函数 $f (x)$ 是偶函数，则 $f (x)$ 图象过原点 C、若函数 $f (x)$ 不是奇函数，则 $f (x)$ 图象不过原点 D、若函数 $f (x)$ 不是奇函数，则 $f (x)$ 图象过原点

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3. 椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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4. “ $p \land q$ 为真命题”是“ $p \lor q$ 为真命题”（）的条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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5. 设 $f (x) = x \ln x ， f^{'} (x_{0}) = 2$ ，则 $x_{0} =$ （）

A、 $e^{2}$ B、 $e$ C、 $\frac{\ln 2}{2}$ D、 $\ln 2$

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6. 若 $f (x) = x^{2} - 2 x - 4 \ln x$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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7. 为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K²=8.01，附表如下：

P（K²≥k₀）

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k₀

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

参照附表，得到的正确的结论是（）

A、有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关” B、有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关” C、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别有关” D、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别无关”

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0 ， b < 0$ ）的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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9. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与椭圆C交于A，B两点，且 $| A F_{1} | + | B F_{1} | = 8$ ，则 $| A B | =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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10. 函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的最大值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{e}$ C、 $\frac{2}{e^{2}}$ D、 $\frac{3}{e^{3}}$

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11. 抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ 上的动点M到两定点 $A (0 ， - 1)$ ， $B (1 ， - 3)$ 的距离之和的最小值为（）

A、4 B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\sqrt{19}$ D、 $\frac{49}{16}$

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12. 已知函数 $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ ， $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - m$ ，若对于任意 $x_{1} \in [0, 3]$ ，存在 $x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数 $m$ 的范围为（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{4}]$ C、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{4}, + \infty)$

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二、填空题

13. 命题“ $\forall x \in R ， x^{2} + x + 1 > 0$ ”的否定是

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14. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程 $\hat{y} = 0.67 x + 54.9$ ，现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为.

零件数x(个)

10

20

30

40

50

加工时间Y(min)

62

75

81

89

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15. 已知直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 相交于A，B两点，若点 $P (6 ， 3)$ 为线段AB的中点，则直线 $l$ 的方程是.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x - 1)$ ， $g (x) = m x - m$ （ $m > 0$ ），若对任意的 $x_{1} \in [- 2 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 2 ， 2]$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 求下列各曲线的标准方程

(1)、长轴长为12，离心率为 $\frac{2}{3}$ ，焦点在x轴上的椭圆方程；

(2)、抛物线的焦点是双曲线 $16 x^{2} - 9 y^{2} = 144$ 的左顶点.求抛物线方程.

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18. 如图是我国2014年至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2014﹣2020．

附注：

参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 9.32$ ， $\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i} = 40.17$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 0.55$ ， $\sqrt{7} \approx 2.646$ ．

参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，

回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ ．

(1)、由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；

(2)、建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2022年我国生活垃圾无害化处理量．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - 3 x$ .

(1)、若 $a = 4$ 时，求 $f (x)$ 在 $x \in [1 ， 4]$ 上的最大值和最小值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x \in [2 ， + \infty)$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 设 $p$ ：实数 $x$ 满足 $x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0$ ； $q$ ：实数 $x$ 满足 $| x - 3 | < 1$ .

(1)、若 $\neg q$ 为假，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $a > 0$ 且 $q$ 是 $p$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知椭圆C： $\frac{- x_{1}^{3} + x_{1}^{2}}{x_{1}} \cdot \frac{x_{1}^{3} + x_{1}^{2}}{- x_{1}} = - 1 ， ∴ (- x_{1}^{3} + x_{1}^{2}) (x_{1}^{3} + x_{1}^{2}) = x_{1}^{2}$ （a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A₁ ．求证：直线A₁B过x轴上一定点，并求出此定点坐标．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) > 2 (x + \frac{x^{3}}{3})$ ；

（Ⅲ）设实数 $k$ 使得 $f (x) > k (x + \frac{x^{3}}{3})$ 对 $x \in (0 ， 1)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．

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P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

零件数x(个)	10	20	30	40	50
加工时间Y(min)	62		75	81	89