浙江省丽水市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $y = x - \sqrt{3}$ 的倾斜角是（）

A、45° B、60° C、120° D、135°

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2. 在空间直角坐标系中， $A (2, 3, 5)$ ， $B (3, 1, 4)$ ，则 $A$ ， $B$ 两点的距离是（）

A、6 B、4 C、 $\sqrt{6}$ D、2

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3. 若实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 2 x + y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $[0 ， 3]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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4. 经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（）

A、 $4 \sqrt{2} π$ B、 $4 π$ C、 $2 \sqrt{2} π$ D、 $2 π$

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5. “ $m = 1$ ”是“直线 $x + (m + 1) y + 3 = 0$ 与直线 $m x + 2 y + 4 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 直线 $l$ 过点 $P (1, 3)$ 且与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $4 x + 3 y - 13 = 0$ B、 $3 x + 4 y - 15 = 0$ C、 $3 x + 4 y - 15 = 0$ 或 $x = 1$ D、 $4 x + 3 y - 13 = 0$ 或 $x = 1$

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7. 已知 $m$ ， $n$ 是两条直线， $α$ ， $β$ 是两个平面，则下列命题中错误的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m \subset α$ ， $α // β$ ，则 $m // β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α \cap β = l$ ， $m // α$ ， $m // β$ ，则 $m // l$

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8. 如图，正三角形 $A C B$ 与正三角形 $A C D$ 所在平面互相垂直，则二面角 $B - C D - A$ 的余弦值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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9. 已知直线 $l_{1} ：$ $x + m y +1 = 0$ 与直线 $l_{2} ：$ $m x - y - 3 m + 2 = 0$ 分别过定点 $A$ ，B，且交于点 $P$ ，则 $| P A | \cdot | P B |$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、8 D、10

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10. 已知点 $A$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的对称轴与准线的交点，点 $F$ 为抛物线的焦点，点 $P$ 在抛物线上，且满足 $| P A | = m | P F |$ ，则 $m$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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11. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $B_{1} C$ 的中点， $F$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，若点 $P$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点，则 $P E + P F$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是离心率为 $\frac{1}{3}$ 的椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点， $M$ 是椭圆上第一象限的点，若 $I$ 是 $△ M F_{1} F_{2}$ 的内心， $G$ 是 $△ M F_{1} F_{2}$ 的重心，记 $△ I F_{1} F_{2}$ 与 $△ G F_{1} M$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，则（）

A、 $S_{1} = S_{2}$ B、 $2 S_{1} = S_{2}$ C、 $3 S_{1} = 2 S_{2}$ D、 $4 S_{1} = 3 S_{2}$

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二、填空题

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的焦距为；渐近线方程为．

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14. 已知直线 $l ：$ $a x + y - 2 + a = 0$ ，若直线 $l$ 过点 $(2, 0)$ ，则 $a =$ ；若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，则 $a =$ ．

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15. 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是cm³ ，最长的棱长是cm．

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16. 如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = C C_{1}$ ， $E$ ，F分别是 $B C$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A F$ 与 $C_{1} E$ 所成角的余弦值是．

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17. 四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是平行四边形， $\vec{S E} = 2 \vec{E C}$ ，若 $\vec{B E} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A S}$ ，则 $x + y + z =$ ．

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18. 已知 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的焦点，若椭圆C上存在点P，使 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 2 c^{2}$ ，则椭圆C的离心率的取值范围是．

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19. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = \sqrt{10}$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3 \sqrt{2}$ ，过 $A C$ 中点 $M$ 的动直线 $l$ 与线段 $A B$ 交于点 $N$ ，将 $Δ A M N$ 沿直线 $l$ 向上翻折至 $Δ A^{'} M N$ ，使点 $A^{'}$ 在平面 $B C M N$ 内的射影 $H$ 落在线段 $B C$ 上，则直线 $l$ 运动时，点 $A^{'}$ 的轨迹长度是．

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三、解答题

20. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ， $B C = C C_{1} = 4$ ， $M$ 是 $C C_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $B C ⊥ A M$ ；

（Ⅱ）若 $N$ 是 $A B$ 上的点，且 $C N / /$ 平面 $A B_{1} M$ ，求 $B N$ 的长．

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21. 设圆 $C$ 的半径为 $r$ ，圆心 $C$ 是直线 $y = 2 x - 4$ 与直线 $y = x - 1$ 的交点．

(1)、若圆 $C$ 过原点 $O$ ，求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $A (0, 3)$ ，若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $| M A | = 2 | M O |$ ，求 $r$ 的取值范围．

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22. 如图，在三棱锥P﹣ABC中， $A B = B C = C A = P B = 2$ ， $P A = \sqrt{3}$ ， $P A ⊥ A C$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $P C$ ， $A C$ 的中点， $M$ 是 $P B$ 上一点．

（Ⅰ）求证： $A C ⊥$ 平面 $B E F$ ；

（Ⅱ）求直线 $A M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值的最大值．

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23. 已知抛物线 $C ：$ $y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F (1 ， 0)$ ，且点 $M (x_{0} ， y_{0}) (y {}_{0}> 1)$ 是抛物线 $C$ 上的动点，过 $M$ 作圆 $Q ：$ ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，分别交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）当直线 $M Q$ 垂直于直线 $A B$ 时，求实数 $a$ 的取值范围．

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