吉林省吉林市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = R$ ， $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[- 1 ， 2]$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup [2 ， + \infty)$

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2. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 3 ， 4)$ ，则 $\cos α$ 的值等于（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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3. “ $α = \frac{π}{4}$ ”是“ $\sin α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $a = 2021^{0.5}$ ， $b = {0.5}^{2021}$ ， $c = l o g_{2021} 0.5$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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5. 在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知 $a$ 克糖水中含有 $b$ 克糖( $a > b > 0$ )，再添加 $m$ 克糖( $m > 0$ )(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b + m}{a + m}$ B、 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ C、 $\frac{a}{b} > \frac{a + m}{b + m}$ D、 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$

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6. 下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上为增函数的是（）

A、 $y = \sin 2 x$ B、 $y = \cos 2 x$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = \sin \frac{x}{2}$

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7. 若不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， 0)$ B、 $(- 3 ， 0]$ C、 $(- \infty ， - 3) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup [0 ， + \infty)$

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8. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分函数图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象先向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，然后向上平移1个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = \sin 2 x - 1$ B、 $g (x) = \sin 2 x + 1$ C、 $g (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3}) - 1$ D、 $g (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3}) + 1$

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9. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 a x + a^{2} (a > 0)$ 的两个零点分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + \frac{a}{x_{1} x_{2}}$ 的最小值为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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10. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I (t)$ ( $t$ 的单位：天)的Logistic模型： $I (t) = \frac{K}{1 + e^{- 0.23 (t - 52)}}$ 其中 $K$ 为最大确诊病例数.当 $I (t^{*}) = 0.95 K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（） $(l n 19 \approx 3)$

A、60 B、65 C、66 D、69

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二、多选题

11. 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在 $A B$ 上取一点 $C$ ，使得 $A C = a ， B C = b$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ 交以 $A B$ 为直径， $O$ 为圆心的半圆周于点 $D$ ，连接 $O D$ .下面不能由 $O D \geq C D$ 直接证明的不等式为（）

A、 $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} (a > 0 ， b > 0)$ B、 $\sqrt{a b} \geq \frac{2 a b}{a + b} (a > 0 ， b > 0)$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b (a > 0 ， b > 0)$ D、 $\frac{a + b}{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} (a > 0 ， b > 0)$

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12. 如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有（）

A、经过3分钟，点P首次到达最低点 B、第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高 C、从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低 D、摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米

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三、填空题

13. 已知 $3 a + 2 b = 1 ，$ 则 $\frac{9^{a} \cdot 3^{b}}{\sqrt{3^{a}}}$ =.

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14. 某市在创建全国文明城市活动中，需要在某老旧小区内建立一个扇形绿化区域.若设计该区域的半径为 $20$ 米，圆心角为 $45^{\circ}$ ，则这块绿化区域占地平方米.

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15. 已知 $α ， β$ 为锐角，且cos $α$ = $\frac{1}{7}$ ， cos $(α + β)$ = $- \frac{11}{14}$ ，则 $β$ = ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x | ， x \leq m \\ x^{2} - 2 m x + 4 m ， x > m \end{array}$ ，其中 $m > 0$ .若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则m的取值范围是；若存在实数b，使得关于x的方程 $f (x) = b$ 有三个不同的根，则m的取值范围是.

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四、解答题

17. 如图，在平面坐标系 $x o y$ 中，第二象限角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $A$ ，且点 $A$ 的纵坐标为 $\frac{4}{5}$ ．

(1)、求 $\sin α$ ， $\cos α$ ， $\tan α$ 的值；

(2)、先化简再求值： $\frac{\sin (π + α) + \sin (\frac{π}{2} - α) + \cos (4 π - α)}{\tan (π - α)}$ ．

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18. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x + 4 y = 40$ .

(1)、求 $x y$ 的最大值；

(2)、求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象上的各点 ▲ ；得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x)$ 的最大值及取得最大值时 $x$ 的取值集合.
你需要在①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答.

①向左平移 $\frac{3 π}{2}$ 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半；

②纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位.

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20. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的减函数，对于任意的 $x_{1} ， x_{2} \in R$ 都有 $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ，

(1)、求 $f (0)$ ，并证明 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数；

(2)、若 $f (- 1) = 2$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) - f (3 - x) < 4$ .

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21. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买 $x$ 台机器人的总成本 $p (x) = \frac{1}{600} x^{2} + x + 150$ 万元.

(1)、若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

(2)、现按（1）中的数量购买机器人，需要安排 $m$ 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量 $q (m) = {\begin{array}{l} \frac{8}{15} m (16 - m) (1 \leq m \leq 30) \\ 480 (m > 30) \end{array}$ (单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{m - 2^{x}}{n + 2^{x}}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求实数 $m ， n$ 的值；

(2)、函数 $g (x)$ 满足 $f (x) \cdot g (x) = 2^{- x} - 2^{x}$ ，若对任意 $x \in R$ 且 $x \neq 0$ ，不等式 $g (2 x) \geq t [g (x) - 2] - 16$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = \ln (e^{x} + 1) - m x$ 是定义在 $R$ 上的偶函数.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、设 $h (x) = f (x) + \frac{1}{2} x$ ，
①若 $h (x) \geq \ln (2 a - 1)$ 对于 $\forall x \in [0 ， e]$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合；

②若 $\exists x \in [2 ， 2 e]$ ，使得不等式 $h (x) \geq \ln (2 a - 1)$ 有解，求 $x$ 的取值集合.

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