浙江省金华十校2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 4, 3), \vec{b} = (1, - 2 ， x)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、-2 D、2

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2. 一个平面内存在一条与另一个平面垂直的直线是这两个平面垂直的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面 $1500 m$ 处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 $1500 m/s$ 降为零.14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则（）

A、 $v = \frac{25}{14} m / s ， a = \frac{25}{14} m / s^{2}$ B、 $\begin{array}{l} v = - \frac{25}{14} m/s ， a = \frac{25}{14} {m/s}^{2} \end{array}$ C、 $v = \frac{25}{14} m / s ， a = - \frac{25}{14} m / s^{2}$ D、 $v = - \frac{25}{14} m / s ， a = - \frac{25}{14} m / s^{2}$

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4. 以椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点为焦点，坐标原点为顶点的抛物线方程为（）

A、 $y^{2} = - x$ B、 $y^{2} = - 2 x$ C、 $y^{2} = - 4 x$ D、 $y^{2} = - 8 x$

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5. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 和直线 $l : 3 x + 4 y - 5 = 0$ ，则（）

A、圆 $C$ 与直线 $l$ 相交 B、圆 $C$ 与直线 $l$ 相离 C、圆 $C$ 上的点与直线 $l$ 的最大距离为 $1$ D、圆 $C$ 上的点与直线 $l$ 的最大距离为 $2$

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6. 若函数 $f (x) = a x^{2} + b \cos x + c$ 满足 $f^{'} (2) = 2$ ，则 $f^{'} (- 2) =$ （）

A、-1 B、-2 C、0 D、1

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7. 已知函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知立方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，若直线 $l$ 与 $C C_{1}$ 所成角为 $40 °$ ，则直线 $l$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成角有可能取到的是（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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9. 平面上有三个点 $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (2 ， 0)$ 、 $C (2 ， 3)$ ，将 $C$ 沿着向量 $- \frac{\vec{A C} \cdot | \vec{B C} |}{| \vec{A C} |}$ 移动到 $D$ ，以 $A$ 为圆心 $A D$ 为半径作圆，在该圆上取一动点 $E$ ，线段 $B E$ 的中垂线交直线 $A E$ 于 $F$ ，则 $F$ 的轨迹是（）

A、双曲线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆

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10. 如图，在正方形中，点 $E ， F$ 分别是线段 $A D ， B C$ 上的动点，且 $A E = B F ， A C$ 与 $E F$ 交于G， $E F$ 在 $A B$ 与 $C D$ 之间滑动，但与 $A B$ 和 $C D$ 均不重合．在 $E F$ 任一确定位置，将四边形 $E F C D$ 沿直线 $E F$ 折起，使平面 $E F C D ⊥$ 平面 $A B F E$ ，则下列选项中错误的是（）

A、 $∠ A G C$ 的角度不会发生变化 B、 $A C$ 与 $E F$ 所成的角先变小后变大 C、 $A C$ 与平面 $A B F G$ 所成的角变小 D、二面角 $G - A C - B$ 先变大后变小

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二、填空题

11. 设直线 $l_{1} : (a + 1) x + 3 y + 2 = 0$ ，直线 $l_{2} : x + 2 y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a =$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a =$ ．

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12. 某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是 $\frac{8}{3}$ ，则它的表面积是，外接球的体积是．

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13. 定义方程 $f (x) = f^{'} (x)$ 的实数根 $x_{0}$ 叫做函数 $f (x)$ 的“新驻点”．(1)若 $f (x) = \ln x + x + 1$ ，则 $f (x)$ 的“新驻点”为；(2)如果函数 $g (x) = \ln (x + 1)$ 与 $h (x) = x + e^{x}$ 的“新驻点”分别为 $α$ 、 $β$ ，那么 $α$ 和 $β$ 大小关系是．

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14. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，斜率为2的直线l与C的交点为 $A, B$ 、与x轴的交点为P，若 $\vec{A P} = 2 \vec{P B}$ ，则 $| A F | + | B F | =$ ， $| A B | =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 3$ 在区间 $(m ， m + 3)$ 上存在极大值与极小值，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 已知中心在原点的双曲线 $C_{1}$ 和椭圆 $C_{2}$ 有共同的左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ ，它们的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，双曲线 $C_{1}$ 的两条渐近线与椭圆 $C_{2}$ 在第一象限、第二象限的交点分别为M，N，若 $| F_{1} F_{2} | = 2 | M N |$ ， $e_{1} = 2$ ，则 $e_{2} =$ ．

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17. 已知不等式 $(a x - \ln x) [x^{2} - (a + 1) x + 1] \geq 0$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

18. 已知O为坐标原点，圆C给过点 $A (1 ， 2) ， B (3 ， 2) ， D (2 ， 3)$ ，P为圆C外的一动点，过点P作圆C的切线 $P Q$ ，Q为切点．

(1)、求圆C的方程；

(2)、在① $| P Q | = | P O |$ ，② $| P Q | = \sqrt{3}$ ，③ $∠ C P Q = 45 °$ 三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知_________，求 $| P O |$ 的最小值．

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19. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $A B = 3 A_{1} B_{1}$ ， $A A_{1} ⊥ B D$ ．E为 $D C$ 靠近D点的三等分点，平面 $A E A_{1}$ 与直线 $C_{1} D_{1}$ 交于点P，连接 $A E$ 交 $B D$ 于O点．

(1)、求证： $P E ⊥ B D$ ；

(2)、若F为 $A B$ 的三等分点(靠近B点)，请在线段 $B B_{1}$ 上确定一点Q，使 $P O / /$ 平面 $Q F C$ ，并证明之．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a e^{x}}{x}$ ， $a \neq 0$ ， $x > 0$ ，若函数 $f (x)$ 的最小值为 $e$ （ $e$ 为自然对数的底数）．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、方程 $f (x) + m (x + \frac{1}{x}) = 0$ 在 $[1 ， 2]$ 有解，求 $m$ 的取值范围．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D = A B = \sqrt{2} B C$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、若E为 $P C$ 的中点，求证： $D E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $∠ P D C = 120 °$ ，求 $P C$ 与面 $P A B$ 的所成角的正弦值．

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22. 如图，直线 $l ： y = x - 4$ 交抛物线 $Γ ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 于 $A$ 、 $B$ 两点， $| A B | = 6 \sqrt{2}$ ． $C$ 、 $D$ 是位于 $y$ 轴和直线 $l$ 之间的抛物线 $Γ$ 上两点，连接 $B C$ 、 $C D$ 、 $A D$ ．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积 $S$ 的最大值，以及 $S$ 取得最大值时直线 $C D$ 的方程．

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