广西桂林市2020-2021学年高二上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，公差 $d = 1$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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2. 抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点到准线的距离等于（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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3. 命题“若 $x = 1$ ，则 $x^{2} < 2$ ”的否命题是（）

A、“若 $x^{2} < 2 ，$ 则 $x = 1$ ” B、“若 $x \geq 1$ ，则 $x \neq 1$ ” C、“若 $x = 1$ ，则 $x^{2} > 2$ ” D、“若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} \geq 2$ ”

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4. 若 $a 、 b 、 c \in R$ 且 $a > b$ ，则一定有（）

A、 $a c > b c$ B、 $(a - b) c^{2} > 0$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $2 a > 2 b$

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5. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = 45 °$ ， $B = 60 °$ ， $a = 2$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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6. 椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(\pm 1 ， 0)$ B、 $(0 ， \pm 1)$ C、 $(\pm \sqrt{3} ， 0)$ D、 $(0 ， \pm \sqrt{3})$

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7. 已知变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 0 \\ x \leq 1 \\ y \leq 0 \end{array}$ ，则目标函数 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 1$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $B = \frac{π}{6}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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9. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x > \sin x$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\neg p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0} < \sin x_{0}$ B、 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $x < \sin x$ C、 $\neg p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0} \leq \sin x_{0}$ D、 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $x \leq \sin x$

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10. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm 2 \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{4} x$

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11. 若 $a \in R ，$ 则 $a > 2$ 是 $| a | > 2$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 等比数列{a_n}的各项均为正数，且 $a_{5} a_{6} + a_{4} a_{7} = 18$ ，则 $\log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots + \log_{3} a_{10} =$ （　　　）

A、12 B、10 C、8 D、2+log₃5

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二、填空题

13. 若 $x \in (0 ， + \infty)$ ，则 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值是.

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14. 在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $c = 4$ ，则 $\cos A =$ .

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15. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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16. 已知点P是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上任意一个点，若点P到双曲线两条渐近线的距离乘积等于 $\frac{b^{2}}{3}$ ，则双曲线的离心率为．

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三、解答题

17. 在各项均为正项的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = 4 a_{3}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求 $S_{n}$ .

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18. 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 $\sqrt{3 a} = 2 c \sin A$
(Ⅰ)确定角C的大小：

（Ⅱ）若c＝ $\sqrt{7}$ ，且△ABC的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求a＋b的值。

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19. 已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x²﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x²+2ax+2﹣a=0”．

(1)、若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)、若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

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20. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面是面积为 $12 m^{2}$ 的矩形，房高为3 $m$ .因地理位置的限制，房屋侧面的长度 $x$ 不得超过5米，房屋正面的造价为400元/ $m^{2}$ 房屋侧面的造价为150元/ $m^{2}$ ，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 $m$ ，且不计房屋背面的费用，设房屋的总造价为 $y$ 元.

(1)、求 $y$ 用 $x$ 表示的函数关系式；

(2)、当 $x$ 为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

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21. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = 2 n$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{2 n + 1}}$ 的前n项和．

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22. 已知点A(0，－2)，椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，O为坐标原点.

(1)、求E的方程；

(2)、设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

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