广西百色市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、多选题

1. 某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有（）

A、应该采用分层随机抽样法 B、高一、高二年级应分别抽取100人和135人 C、乙被抽到的可能性比甲大 D、该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力

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二、单选题

2. 已知命题 $p : \forall x > 0, x^{3} + x > 0,$ 则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x \leq 0, x^{3} + x \leq 0$ B、 $\exists x_{0} \leq 0, x_{0}^{3} + x_{0} \leq 0$ C、 $\forall x > 0, x^{3} + x \leq 0$ D、 $\exists x_{0} > 0, x_{0}^{3} + x_{0} \leq 0$

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3. 已知抛物线 $C : y = 3 x^{2}$ ，则焦点到准线的距离是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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4. 某程序框图如图所示，若运行该程序后输出 $S =$ （）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{11}{6}$

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5. 调查了某地若干户家庭的年收入 $x$ （单位：万元）和年饮食支出 $y$ （单位：万元），调查显示年收入 $x$ 与年饮食支出 $y$ 具有线性相关关系，并由调查数据得到 $y$ 对 $x$ 的回归直线方程： $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y} = 184 - 10 \times 8 \times 2 = 24$ ．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，则预计年饮食支出平均增加（）

A、0.067万元 B、0.254 万元 C、0.321万元 D、0.575万元

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6. 甲，乙，两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示， ${\bar{x}}_{1} ， {\bar{x}}_{2}$ 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数， $s_{1}^{2} ， s_{2}^{2}$ 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（）

A、 ${\bar{x}}_{1} > {\bar{x}}_{2} ， s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ B、 ${\bar{x}}_{1} = {\bar{x}}_{2} ， s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ C、 ${\bar{x}}_{1} = {\bar{x}}_{2} ， s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$ D、 ${\bar{x}}_{1} = {\bar{x}}_{2} ， s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$

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7. “ $m > 0$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{2 m} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴的椭圆”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，且过点 $(4, \sqrt{3})$ ，则该双曲线的标准方程为 $($ ）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$

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9. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A A_{1}} = \vec{c} ， \vec{B C} = \vec{b}$ ，则下列向量与 $\vec{B M}$ 相等的是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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10. 已知命题 $p$ ：直线 $y = 2 x$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 相交，命题 $q$ ：点 $(1, \sqrt{2})$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的内部，则下列命题为真命题的是（）

A、 $\neg q$ B、 $p \land q$ C、 $p \lor q$ D、 $p \land (\neg q)$

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11. 赵爽是我国汉代数学家、天文学家，他在注解《周髀算经》时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，他被2002年国际数学家大会选定为会徽，“赵爽弦图”是以弦为边长得到的正方形，该正方形由4个全等的直角三角形加上中间一个小正方形组成．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．设 $D F = 2 A F$ ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自三个全等三角形（阴影部分）的概率是（）

A、 $\frac{4}{13}$ B、 $\frac{9}{13}$ C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{9}{26}$

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12. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆圆心为 $I$ ，则圆心 $I$ 到圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 上任意一点的距离最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5} - 1$ C、1 D、 $\sqrt{5} - 2$

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13. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过点 $Q (1, - 2)$ 的直线1与椭圆相交于A，B两点，若点Q是线段 $A B$ 的中点，则直线l的斜率为（）

A、2或 $\frac{1}{8}$ B、2或8 C、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或8

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三、填空题

14. 已知 $\vec{a}$ ={3λ，6， λ+6}， $\vec{b}$ ={λ+1，3，2λ}，若 ∥ ，则λ=.

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15. $2020_{(3)}$ 转化为十进制的数是．

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16. 下列命题：
①“若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ ”的逆命题；

②“若 $\sin A = \sin B$ ，则 $A = B$ ”的否命题；

③“若 $0 < a < 1$ ，则函数 $y = \log_{a} (1 - x)$ 在定义域内为增函数”的逆命题；

④“四边相等的四边形是正方形”的逆否命题．其中所有真命题的序号是．

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四、解答题

17. 已知动圆过点 $F (0, 2)$ ，且与直线 $l$ ： $y = - 2$ 相切．

(1)、求动圆圆心 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若过点 $F$ 且斜率 $1$ 的直线与圆心 $M$ 的轨迹交于 $A, B$ 两点，求线段 $A B$ 的长度．

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18. 某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站（首发站）乘车，假设每人自第2号站开始，在每个车站下车是等可能的，约定用有序实数对 $(x, y)$ 表示“甲在 $x$ 号车站下车，乙在 $y$ 号车站下车”
（Ⅰ）用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；

（Ⅱ）求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；

（Ⅲ）求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．

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19. 已知命题 $p$ ：不等式 $x^{2} - 4 x + m \geq 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，命题 $q$ ： $m^{2} - 4 m - 5 \geq 0$ ．若 $p \land q$ 为假命题， $p \lor q$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 某“双一流 $A$ 类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：

(1)、将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数 $\bar{x}$ ；

(2)、该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案一：设区间 $Ω = [1.85 ， 2.15)$ ，月薪落在区间 $Ω$ 左侧的每人收取400元，月薪落在区间 $Ω$ 内的每人收取600元，月薪落在区间 $Ω$ 右侧的每人收取800元；

方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；

用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？

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21. 如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是 $A_{1} B_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求点 $D$ 到平面 $B E F$ 的距离；

(2)、求 $B D$ 与平面 $B E F$ 所成的角的余弦值．

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22. 已知椭圆 $C_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $M$ 为椭圆下上动点， $△ F_{1} M F_{2}$ 面积的最大值为 $1$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $M$ 是椭圆 $C$ 的上顶点，直线 $M F_{1}$ 交椭圆 $C$ 于点 $N$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ (直线 $l$ 的斜率不为1)与椭圆 $C$ 交于 $P 、 Q$ 两点，点 $P$ 在点 $Q$ 的上方．若 $S_{△ F_{1} M P} : S_{△ F_{1} N Q} = 3 : 2$ ，求直线 $l$ 的方程．

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