浙江省嘉兴市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 1$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $150 °$ D、 $120 °$

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2. 已知抛物线 $y^{2} = a x$ 的准线方程是 $x = - 1$ ，则a等于（）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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3. 已知圆的方程是 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，则它的半径是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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4. 已知 $α$ ， $β$ ， $γ$ 为三个互不重合的平面，l为一条直线，则下列命题中错误的是（）

A、 $l / / α$ ， $l ⊥ β \Rightarrow α ⊥ β$ B、 $α ⊥ γ$ ， $β / / γ \Rightarrow α ⊥ β$ C、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ \Rightarrow α ⊥ β$ D、 $l ⊥ α$ ， $β \cap γ = l \Rightarrow α ⊥ β$

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5. “ $a = 3$ ”是“直线 $l_{1} : a x + 3 y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + (a - 2) y + 2 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 方程 $x^{2} + x y = x$ 表示的曲线是（）．

A、一个点 B、一条直线 C、两条直线 D、一个点或一条直线

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7. 四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若 $\vec{A E} = x \vec{A B} + 2 y \vec{B C} + 3 z \vec{A P}$ ，则 $x + y + z$ 等于（）

A、1 B、 $\frac{11}{12}$ C、 $\frac{11}{6}$ D、2

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8. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，点P在双曲线的右支上，且 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(1, 2]$ B、 $(1, \frac{5}{3}]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[\frac{4}{3}, + \infty)$

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9. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形.其中 $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $△ P A D$ 是以 $∠ A$ 为直角的等腰直角三角形，若 $∠ P A B = 60 °$ ，则异面直线PC与AD所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{22}}{11}$ B、 $- \frac{\sqrt{22}}{11}$ C、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{2 \sqrt{11}}{11}$

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10. 已知圆 $C : {(x - m)}^{2} + {(y - 2 m + 1)}^{2} = 2 m^{2}$ ，有下列四个命题：
①一定存在与所有圆都相切的直线；②有无数条直线与所有的圆都相交；③存在与所有圆都没有公共点的直线；④所有的圆都不过原点.其中正确的命题个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的实轴长是，渐近线方程是.

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12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是，几何体中最长棱的长等于.

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13. 已知直线 $y = x - 1$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于M，N两点，则 $| M N | =$ ，线段MN的中点坐标是.

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14. 直线 $y = m x - m + 1$ 分别与x轴､y轴的正半轴交于M，N两点，点P是圆 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上的动点，则 $| M N |$ 的最小值是，当 $| M N |$ 最小时， $△ P M N$ 面积的取值范围是.

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15. 一个正方体的顶点都在球面上，若该正方体的棱长为2，则球的体积是.

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16. 在直角三角形 $A B C$ 中， $A B = A C = 1$ ，椭圆的一个焦点为C，另一个焦点在边 $A B$ 上，并且椭圆经过点 $A ， B$ ，则椭圆的长轴长等于.

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17. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的各条棱长均为1，M，N分别是棱PA，BC的中点，将 $△ P M N$ 绕PN所在的直线旋转一周，直线MN与平面PAB所成角余弦值的取值范围是.

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18. 已知直线 $l : (a + 1) x - \sqrt{a} y + 3 = 0 (a > 0)$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求直线l的斜率；

(2)、若直线l被圆 $x^{2} - 2 x + y^{2} - 5 = 0$ 截得的弦长为2，求直线l的方程.

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三、解答题

19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面ABC为正三角形， $A B_{1}$ 与 $A_{1} B$ 交于点O，E，F是棱 $C C_{1}$ 上的两点，且满足 $E F = \frac{1}{2} C C_{1}$ .

(1)、证明： $O F //$ 平面 $A B E$ ；

(2)、当 $C E = C_{1} F$ ，且 $A A_{1} = 2 A B$ ，求直线 $O F$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值.

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20. 已知抛物线C的方程为 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，其焦点为F， $M (2, m)$ 为抛物线C上的一点，且M到焦点F的距离为 $\frac{5}{2}$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线l与抛物线C相交于两个不同的点P，Q，线段PQ的垂直平分线过定点 $(2, 0)$ ，求k的取值范围.

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21. 如图，几何体的底面ABCD是边长为2的菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $△ P C D$ 和 $△ P A D$ 均为正三角形，M，N分别为CD，PB的中点.

(1)、求证： $P A ⊥ M N$ ；

(2)、求二面角 $P - C M - N$ 的余弦值.

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22. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $P (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆E上.

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、经过椭圆E的左焦点 $F_{1}$ 作斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 交椭圆E于A，B，直线 $l_{2}$ 交椭圆E于C，D，G，H分别是线段AB，CD的中点，求 $△ G H F_{2}$ 面积的最大值.

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