浙江省湖州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 点 $(- 1, 0)$ 到直线 $x + y - 1 = 0$ 的距离是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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2. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{3} x + 2 y + 1 = 0$ 的半径是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (2 ， 3 ， 4)$ ，则（）

A、 $l // α$ B、 $l ⊥ α$ C、 $l \subset α$ 或 $l // α$ D、l与 $α$ 斜交

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4. “ $a = 2$ ”是直线“ $l_{1} ： a x + 2 y + 1 = 0$ 与 $l_{2} ： 3 x + (a + 1) y - 3 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设l为一条直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $α ⊥ β ， l // α$ ，则 $l ⊥ β$ B、若 $l // α$ ， $l // β$ ，则 $α // β$ C、若 $l ⊥ α ， l ⊥ β$ ，则 $α // β$ D、若 $l ⊥ α ， l // β$ ，则 $α // β$

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6. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2 ， A A_{1} = 3$ ，E是 $B C$ 的中点，则直线 $E D_{1}$ 与直线 $B D$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{28}$ B、 $- \frac{\sqrt{7}}{28}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{14}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{7}}{14}$

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7. 某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8. 过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y²＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)

A、2 $\sqrt{13}$ B、2 $\sqrt{15}$ C、2 $\sqrt{17}$ D、2 $\sqrt{19}$

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9. 在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $D D_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点P为底面 $A B C D$ 上的一个动点，当 $△ D_{1} P C$ 的面积为定值时，点P的轨迹为（）

A、圆的一部分 B、椭圆的一部分 C、双曲线的一部分 D、抛物线的一部分

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10. 已知三条直线 $l_{1} ： m x + n y = 0$ ， $l_{2} ： n x - m y + 3 m - n = 0$ ， $l_{3} ： a x + b y + c = 0$ ，其中 $m$ 、 $n$ 、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为实数， $m$ 、 $n$ 不同时为零， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 不同时为零，且 $a + c = 2 b$ ．设直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 交于点 $P$ ，则点 $P$ 到直线 $l_{3}$ 的距离的最大值是（）

A、 $\sqrt{10} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{58}}{2}$ C、 $\sqrt{10} + \frac{\sqrt{58}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

11. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率是，渐近线方程是．（两条都写出）

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12. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 5 ， B C = 4 ， A A_{1} = 3$ ，则这个长方体的体对角线长为，其外接球的表面积是．

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13. 已知圆C的圆心在直线 $y = - 4 x$ 上，且与直线 $l ： x + y - 1 = 0$ 相切于点 $P (3 ， - 2)$ ，则圆C的方程为，它被直线 $3 x - 4 y - 9 = 0$ 截得的弦长为．

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14. 已知点F是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点， $A B$ 为椭圆的一条过F的弦，点A在x轴上方若直线 $A B$ 与x轴垂直，则 $| A B | =$ ；若 $| A F | = 2 | B F |$ ，则直线 $A B$ 的斜率是．

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15. 过点 $(2 ， 3)$ 且与直线 $l ： x - 2 y + 1 = 0$ 垂直的直线方程是．

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16. 已知动点A，B分别在圆 $C_{1} ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 和圆 $C_{2} ： {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4$ 上，动点P在直线 $x + y + 1 = 0$ 上，则 $| P A | + | P B |$ 的最小值是．

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17. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的各棱长均相等，点E在棱 $B C$ 上，且 $C E = 2 E B$ ，动点Q在棱 $B P$ 上，设直线 $E Q$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $θ$ ，则 $\sin θ$ 的最大值是．

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三、解答题

18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A的坐标为 $(1 ， 1)$ ，动点P满足 $| P O | = \sqrt{2} | P A |$ ．

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、若直线l过点 $Q (4 ， 6)$ 且与轨迹C相切，求直线l的方程．

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19. 在所有棱长均为2的直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ，O，M分别为 $B D ， B_{1} C$ 的中点．

（Ⅰ）求证：直线 $O M / /$ 平面 $D B_{1} C_{1}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $D_{1} - A C - D$ 的余弦值．

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20. 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F的直线交C于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，且 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = - 3$ ．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若抛物线C的弦 $P Q$ 与以 $M (4 ， 0)$ 为圆心､半径为 $r (r > 0)$ 的圆M相切于点 $N (x_{0} ， 1)$ ，且N恰为弦 $P Q$ 的中点，求圆M的半径r的值．

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A B / / C D ， ∠ C = 60 ° ， A B = 2 ， B C = 3 ， C D = 6$ ，点M在边 $C D$ 上，且 $C M = \frac{1}{3} C D$ ．现沿 $A M$ 将 $△ A D M$ 折起至 $△ A Q M$ 的位置，使 $Q B = 3$ ．

（Ⅰ）求证： $Q B ⊥$ 平面 $A B C M$ ；

（Ⅱ）求直线 $B M$ 与平面 $A Q M$ 所成角的正弦值．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且点 $(1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）将椭圆C上每点横坐标和纵坐标都扩大到原来的两倍，得到椭圆M的方程．直线 $y = k x + m (m \neq 0)$ 与椭圆M交于A，B两点，与椭圆C的一个公共点为点P，连接 $P O$ ，并延长 $P O$ 至交椭圆M于点N．设 $△ N A B$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ O A B$ 的面积为 $S_{2}$ ．

（ⅰ）求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值；

（ⅱ）求 $S_{1}$ 的最大值．

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