浙江省台州市2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 0 < x \leq 2}$ ， $B = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 1}$ B、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | 2 \leq x < 3}$ D、 ${x | 0 < x \leq 3}$

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2. 已知 $A$ 是 $△ A B C$ 的内角，则“ $A = \frac{π}{3}$ ”是“ $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y \leq 1 ， \\ 2 x - y \geq 2 ， \end{array}$ 则 $x + y$ 的最小值是（）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、24 B、28 C、32 D、36

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5. 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线 $l$ ，与抛物线 $C$ 在第一象限交于点 $P$ ，若 $| P F | = 4$ ，则点 $P$ 的橫坐标是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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6. 函数 $f (x)$ 的大致图像如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = (x + \frac{1}{x}) \ln | x - 2 |$ B、 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) \ln (| x | - 2)$ C、 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) \ln | x - 2 |$ D、 $f (x) = (x + \frac{1}{x}) \ln (| x | - 2)$

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7. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - m x$ 在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上单调递减，则实数 $m$ 的最小值是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 在正三棱锥 $A - B C D$ 中，点 $P$ ， $Q$ ， $R$ 分别在棱 $B C$ ， $B D$ ， $A B$ 上， $C P = \frac{1}{2} C B$ ， $B Q = \frac{1}{4} B D$ ， $A R = \frac{1}{2} A B$ ，则（）

A、平面 $R P Q //$ 平面 $A C D$ B、平面 $R P Q ⊥$ 平面 $B C D$ C、 $A C // R Q$ D、 $P Q ⊥ A D$

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9. 已知点 $P$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上，点 $A (2 a, 0)$ ，当 $| P A |$ 最小时，点 $P$ 不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{2}, + \infty)$ B、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(1, \sqrt{2})$ D、 $(1, \sqrt{2}]$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n} + 1$ ，记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ， $T_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}$ ， $n \in N^{*}$ ，给出下列结论：
① $a_{n + 1} < \frac{15}{16}$ ；② $2 a_{n + 1} - a_{n} - 1 \leq 0$ ；③ $S_{n} < \frac{5}{6} n$ ；④ $2 S_{n} - T_{n} \leq n$ .则（）

A、①③正确 B、①④正确 C、②③正确 D、②④正确

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二、填空题

11. 已知复数 $z = (a - 2) + (2 a - 1) i$ 是纯虚数，其中 $a$ 是实数， $i$ 为虚数单位，则 $a =$ . $| z + 1 | =$ .

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1, x \leq 0, \\ 2 - \ln x, x > 0, \end{array}$ 则 $f (f (0)) =$ ；若 $f (x_{0}) = 2$ ，则 $x_{0} =$ .

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13. 已知 ${(m - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{3}$ ，若 $a_{0} = 32$ ，则实数 $m =$ ， $a_{3} =$ .

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14. 盒中有4个球，其中2个白球，2个黑球，从中随机取球，若每次取一个，不放回，取到黑球停止，则第二次取到黑球的概率 $P =$ ；若每次取一个，放回，取到黑球停止，且取球次数不超过3次，设此过程取到白球的个数为 $X$ ，则 $E (X) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x - 3) (x^{2} + a x + b)$ 是偶函数，则 $f (x)$ 的值域是.

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16. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{2} C_{3} D_{4}$ ，底面是边长为4的正方形，高为2，点 $O$ 是底面 $A B C D$ 的中心，点 $P$ 在以 $O$ 为球心，半径为1的球面上，设二面角 $P - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的平面角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的取值范围是.

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17. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{b} - \vec{a}$ 的夹角为120°，则 ${| \vec{b} |}^{2}$ 的最大值是.

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三、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b^{2} + c^{2} = a^{2} + b c$ .
（Ⅰ）求角 $A$ 的大小；

（Ⅱ）若 $a = 2$ ，求 $2 b - c$ 的取值范围.

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19. 如图，在三梭柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ ， $A A_{1} C_{1} C$ 均为菱形， $A A_{1} = 2$ ， $∠ A B B_{1} = ∠ A C C_{1} = 60 °$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $A C_{1} //$ 平面 $C D B_{1}$ ；

（Ⅱ）若 $∠ B A C = 60 °$ ，求直线 $A C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} - 2 a_{n} = \frac{2 n + 3}{4 n^{2} - 1}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{n} + \frac{1}{2 n - 1}$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < 3$ ， $n \in N^{*}$ .

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21. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点，椭圆 $C$ 上有两个不同的点 $A$ ， $B$ ，且 $A$ ， $B$ 均在 $x$ 轴上方，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{P F_{2}}$ ， $\vec{P F_{1}} = λ \vec{B P}$ .

（Ⅰ）求椭圆两个焦点的坐标：

（Ⅱ）判断 $| P F_{1} | + | P F_{2} |$ 是否为常数？说明理由.

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22. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，函数 $f (x) = a x e^{2} + b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ .
（Ⅰ）求 $a$ ， $b$ 的值及 $f (x)$ 的最小值；

（Ⅱ）设函数 $g (x) = x \ln x$ ，若对于任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (2 x) + 1 \geq g (m x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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