陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“若 $x y = 0 ，$ 则 $x = 0 (x ， y \in R)$ ”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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2. 已知 $\vec{a} = (- 1 ， - 2 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， x ， - 2)$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 13$ ，则 $x$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 命题“存在实数 $x$ ，使 $x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定为（）

A、存在实数 $x$ ，使 $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ B、对任意一个实数 $x$ ，都有 $x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ C、对任意一个实数 $x$ ，都有 $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ D、存在实数 $x$ ，使 $x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$

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4. 在下列各选项中， $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件的是（）

A、若 $A \subseteq B$ ， $p$ ： $x \in A$ ， $q$ ： $x \in B$ ； B、 $p$ ： $x = \frac{π}{6}$ ， $q$ ： $\sin x = \frac{1}{2}$ ； C、在 $△ A B C$ 中， $p$ ： $A > B$ ， $q$ ： $\sin A > \sin B$ ； D、 $p$ ： $| a | = | b |$ ， $q$ ： $a = b$ ；

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5. 有两个命题：命题 $p$ ：正方形的四个角相等，命题 $q$ ：正方形的四条边相等.则下列判断错误的是（）

A、新命题“ $p$ 且 $q$ ”是真命题 B、新命题“ $p$ 或 $q$ ”是真命题 C、新命题“非 $p$ ”是假命题 D、新命题“ $p$ 或 $q$ ”是假命题

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6. 点 $M$ 到点 $F (- 4 ， 0)$ 的距离比它到直线 $l ： x - 6 = 0$ 的距离小2，则点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $y^{2} = 16 x$ B、 $y^{2} = - 16 x$ C、 $y^{2} = 24 x$ D、 $y^{2} = - 24 x$

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7. 直线 $l$ 的方向向量 $\vec{s} = (1 ， 1 ， 2)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (1 ， - 3 ， 0)$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 的夹角的余弦为（）

A、 $- \frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ C、 $- \frac{\sqrt{210}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{210}}{15}$

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8. 与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 焦点相同且经过点（2，3）的双曲线的标准方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$

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9. 顶点在原点，经过点 $(- \sqrt{3} ， 6)$ ，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（）

A、 $y^{2} = 12 \sqrt{3} x$ 或 $x^{2} = - \frac{1}{2} y$ B、 $y^{2} = - 12 \sqrt{3} x$ 或 $x^{2} = - \frac{1}{2} y$ C、 $y^{2} = 12 \sqrt{3} x$ 或 $x^{2} = \frac{1}{2} y$ D、 $y^{2} = - 12 \sqrt{3} x$ 或 $x^{2} = \frac{1}{2} y$

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10. 抛物线 $y = x^{2}$ 上到直线 $x - y - 4 = 0$ 的距离最小的点的坐标是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{4})$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(\frac{3}{2} ， \frac{9}{4})$ D、 $(2 ， 4)$

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11. 若双曲线 $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的离心率 $e \in (1 ， 2)$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 5)$ B、 $(5 ， 10)$ C、 $(0 ， 15)$ D、 $(- 15 ， 0)$

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12. 如果直线 $y = k x - 1$ 与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 4$ 只有一个交点，则符合条件的直线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 是单位向量，且 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{c} ⊥ \vec{a}$ ， $< \vec{a} ， \vec{b} > = \frac{π}{3} ，$ 则 $(\vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c}) \cdot (- 3 \vec{a} + 2 \vec{b} + 3 \vec{c}) =$ .

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14. 斜率为-1的直线经过抛物线 $y^{2} = - 4 x$ 的焦点，与抛物线相交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B |=$ .

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15. 已知双曲线与椭圆 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ 共焦点，它们的离心率之和为 $\frac{24}{5}$ ，则双曲线方程为.

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16. 已知平面 $α$ 经过点 $B (1 ， 0 ， 0)$ ，且 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (1 ， 1 ， 1)$ ，则 $P (2 ， 2 ， 0)$ 到平面 $α$ 的距离为.

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三、解答题

17. 已知点 $A (0 ， 1 ， - 1)$ ， $B (2 ， 2 ， 1)$ ，向量 $\vec{a} = \vec{O A} ， \vec{b} = \vec{O B}$ ，计算：

(1)、求向量 $\vec{b}$ 的单位向量 $\vec{b_{0}}$ ；

(2)、求 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ ， $| - 3 \vec{a} |$ ；

(3)、 $\cos < \vec{a} ， \vec{b} >$ ；

(4)、求点 $B$ 到直线 $O A$ 的距离.

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18. 已知椭圆的长轴在 $x$ 轴上，长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

(1)、求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.

(2)、直线 $x - 2 y - 2 = 0$ 与椭圆交于 $A ， B$ 两点，求 $A ， B$ 两点的距离.

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19. 若直线 $l ： y = k x - 1$ 与曲线 $C ： y^{2} = (k - 1) x$ 恰好有一个公共点，求实数 $k$ 的取值集合.

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20. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面是等腰直角三角形， $A B = 2 ，$ $∠ A C B = 90 °$ ，侧棱 $B B_{1} = 2 ，$ $D ， E$ 分别是 $C C_{1} ， A_{1} B$ 的中点.

(1)、求平面 $A E D$ 与平面 $A E C_{1}$ 的夹角的余弦.

(2)、求 $A C_{1}$ 与平面 $A D E$ 所成角的余弦值.

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