广东省梅州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 命题“ $\exists x_{0}$ ∈(0，+∞)， $x_{0}^{2} + 1 \leq 2 x_{0}$ ”的否定为（）

A、 $\forall x$ ∈(0，+∞)， $x^{2} + 1 > 2 x$ B、 $\forall x$ ∈(0，+∞)， $x^{2} + 1 \leq 2 x$ C、 $\forall x$ ∈(-∞，0]， $x^{2} + 1 \leq 2 x$ D、 $\forall x$ ∈(-∞，0]， $x^{2} + 1 > 2 x$

查看试题解析
2. 已知直线l₁：mx－2y＋1＝0，l₂：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l₁平行于l₂”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
3. 若向量 $\overset{⇀}{a} = (0, 1, - 1), \overset{⇀}{b} = (1, 1, 0)$ ，且 $(\overset{⇀}{a} + λ \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{a}$ ，则实数 $λ$ 的值是（）

A、-1 B、0 C、-2 D、1

查看试题解析
4. 已知圆C的圆心是直线 $x + y + 1 = 0$ 与直线 $x - y - 1 = 0$ 的交点，直线 $3 x + 4 y - 11 = 0$ 与圆C相交于 $A, B$ 两点，且 $| A B | = 6$ ，则圆C的方程为（）

A、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 18$ B、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 3 \sqrt{2}$ C、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 18$ D、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 3 \sqrt{2}$

查看试题解析
5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的焦点与抛物线 $y^{2} = - 12 x$ 的焦点相同，则此双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、6

查看试题解析
6. 若函数 $f (x) = 2 x + \frac{a}{x + 1}$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 0$ B、 $a \geq 2$ C、 $a < 2$ D、 $a \leq 2$

查看试题解析
7. 一个矩形铁皮的长为 $16 cm$ ，宽为 $10 cm$ ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为 $x (cm)$ ，小盒子的容积为 $V ({cm}^{3})$ ，则（）

A、当 $x = 2$ 时， $V$ 有极小值 B、当 $x = 2$ 时， $V$ 有极大值 C、当 $x = \frac{20}{3}$ 时， $V$ 有极小值 D、当 $x = \frac{20}{3}$ 时， $V$ 有极大值

查看试题解析
8. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) + f^{'} (x) > 1$ ， $f (0) = 2020$ ，则不等式 $e^{x} f (x) > e^{x} + 2019$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup (2019 ， + \infty)$ C、 $(2019 ， + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

查看试题解析

二、多选题

9. 设 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是单调函数，其导函数分别为 $f^{'} (x)$ ， $g^{'} (x)$ ， $h (x) = f (x) - g (x)$ ，下列命题中，正确的是（）

A、若 $f^{'} (x) > 0$ ， $g^{'} (x) > 0$ ，则 $h (x)$ 单调递增； B、若 $f^{'} (x) > 0$ ， $g^{'} (x) < 0$ ，则 $h (x)$ 单调递增； C、 $f^{'} (x) < 0$ ， $g^{'} (x) > 0$ ，则 $h (x)$ 单调递减； D、若 $f^{'} (x) < 0$ ， $g^{'} (x) < 0$ ，则 $h (x)$ 单调递减；

查看试题解析
10. 下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）

A、设 $A$ 、 $B$ 为两个定点， $k$ 为非零常数， $| \vec{P A} | - | \vec{P B} | = k$ ，则动点 $P$ 的轨迹为双曲线 B、设定圆 $C$ 上一定点 $A$ 作圆的动弦 $A B$ ， $O$ 为坐标原点，若 $\vec{O P} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ ，则动点 $P$ 的轨迹为椭圆 C、方程 $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D、双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{35} + y^{2} = 1$ 有相同的焦点

查看试题解析
11. 如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 $P$ 变轨进入以月球球心 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点 $P$ 第二次变轨进入仍以 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点 $P$ 第三次变轨进入以 $F$ 为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用 $2 c_{1}$ 和 $2 c_{2}$ 分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用 $2 a_{1}$ 和 $2 a_{2}$ 分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（）

A、 $a_{1} + c_{1} = a_{2} + c_{2}$ B、 $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2}$ C、 $c_{1} a_{2} > a_{1} c_{2}$ D、 $\frac{c_{1}}{a_{1}} < \frac{c_{2}}{a_{2}}$

查看试题解析
12. 关于函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ ，下列说法正确的是（）

A、 $x_{0} = 2$ 是 $f (x)$ 的极小值点； B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点； C、存在正整数 $k$ ，使得 $f (x) > k x$ 恒成立； D、对任意两个正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 4$ .

查看试题解析

三、填空题

13. 直线 $l$ 过坐标原点且与线 $y = e^{x}$ 相切，则 $l$ 的方程为.

查看试题解析
14. 已知过点 $M (1, - \frac{3}{2})$ 的椭圆C的焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，则椭圆C的标准方程是.

查看试题解析
15. 某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为米（精确到0.1米）

查看试题解析
16. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，所有棱长均为2，O是底面正方形 $A B C D$ 中心，E为 $P C$ 中点，则直线 $O E$ 与直线 $P D$ 所成角的余弦值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知点 $A (5 ， 1)$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $B$ ，关于原点的对称点为C．

(1)、求 $△ A B C$ 中过 $A B$ ， $B C$ 边上中点的直线方程；

(2)、求 $A C$ 边上高线所在的直线方程.

查看试题解析
18. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{3} x + 4 y + m = 0$ 与直线 $x + \sqrt{3} y - \sqrt{3} = 0$ 相切.

(1)、求圆C的方程；

(2)、若圆C上有两点M，N关于直线 $2 x - \sqrt{3} y + n = 0$ 对称，且 $| M N | = 2 \sqrt{2}$ ，求n的值及直线MN的方程.

查看试题解析
19. 如图所示，某风景区在一个直径AB为 $200 m$ 的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带.(注：小路及绿化带的宽度忽略不计)

(1)、设 $∠ B A C = θ$ (弧度)，将绿化带总长度 $S (θ)$ 表示为 $θ$ 的函数；

(2)、试确定 $θ$ 的值，使得绿化带总长度最大.

查看试题解析
20. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的高为1，底边长为2.

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $A - P D - C$ 的余弦值.

查看试题解析
21. 已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线C： $x^{2} = 4 y$ 上的两点，满足 $O A ⊥ O B$ ， $O$ 是坐标原点.

(1)、求证： $x_{1} x_{2} = - 16$ ；

(2)、若 $O D ⊥ A B$ 于点D，求点D的轨迹方程.

查看试题解析
22. $π$ 为圆周率， $e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数.

(1)、求函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ 的单调区间；

(2)、求 $e^{3}$ ， $3^{e}$ ， $e^{π}$ ， $π^{e}$ ， $3^{π}$ ， $π^{3}$ 这6个数中的最大数与最小数：

(3)、将 $e^{3}$ ， $3^{e}$ ， $e^{π}$ ， $π^{e}$ ， $3^{π}$ ， $π^{3}$ 这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

查看试题解析