广西钦州市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {- 2, - 1, 0, 1}$ ，集合 $A = {0, 1}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${- 2, - 1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 2, - 1, 0}$ D、 ${- 2, 0, 1}$

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2. 下列角中，与角 $\frac{π}{3}$ 终边相同的角是（）

A、 $- \frac{5 π}{6}$ B、 $- \frac{5 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (t, 3), \vec{b} = (2, - 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、3 D、-3

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4. 已知 $\cos α = \frac{3}{5}, - \frac{π}{2} < α < 0$ ，则 $\tan 2 α$ 的值等于（）

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $\frac{24}{7}$ C、 $\frac{16}{25}$ D、 $- \frac{16}{25}$

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5. 函数 $y = x^{2} + 2 m x + 1$ 在 $[2, + \infty)$ 单调递增，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2, + \infty)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 2]$

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6. 已知 $\tan α = - 2$ ，则 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + \cos α} =$ （）

A、-3 B、3 C、4 D、-4

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7. 函数 $y = \frac{3 x}{e^{x} + e^{- x}}$ （其中 $e$ 是自然对数的底数）的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $x = - \frac{5 π}{6}$ 和 $x = \frac{π}{6}$ 为函数 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x$ （其中 $ω > 0$ ）的两条相邻的对称轴，则 $ω$ 的值是（）

A、3 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、1

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9. 已知 $a = \ln 0.3, b = {(\frac{1}{3})}^{0.3}, c = {(\frac{1}{2})}^{0.3}$ 则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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10. 已知 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，若 $f (- 1) = 0$ ，则满足 $f (x) > 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ C、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 1)$

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11. 如图，若 $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c} ， B$ 是线段 $A C$ 上靠近点 $C$ 的一个三等分点，且 $\vec{b} = λ \vec{a} + μ \vec{c}$ ，则（）

A、 $λ = \frac{2}{3} ， μ = \frac{1}{3}$ B、 $λ = \frac{1}{4} ， μ = \frac{3}{4}$ C、 $λ = \frac{3}{4} ， μ = \frac{1}{4}$ D、 $λ = \frac{1}{3} ， μ = \frac{2}{3}$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \log_{2} (a^{x} - b + 1) (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象如图所示，则 $a ， b$ 满足的关系是（）

A、 $0 < \frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 1$ B、 $0 < \frac{1}{b} < a < 1$ C、 $0 < b < \frac{1}{a} < 1$ D、 $0 < \frac{1}{a} < b < 1$

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二、填空题

13. 计算 $\cos \frac{25 π}{6} =$ ．

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14. 已知 $A (1, 2), B (- 1, 0)$ ，则 $| \vec{A B} | =$ ．

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15. 函数 $f (x) = \log_{3} (9 - x^{2})$ 的最大值是．

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16. 已知 $f (x) = | 2 x - x^{2} | - m$ 有四个零点，则m的取值范围.

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 ${(\lg 2)}^{2} + \lg 2 \times \lg 5 + \lg 5$ ；

(2)、 ${(27)}^{\frac{1}{3}} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 3 \times {(\sqrt{2})}^{0} + {(- 2)}^{2}$ ．

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18. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 4, \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = - 8$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 - x ， x < 0 \\ - x^{2} + b x + c ， x \geq 0 \end{array}$ ，且 $f (1) = 5 ， f (2) = 6$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、写出 $f (x)$ 的单调增区间和单调减区间．

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20. 若角 $α$ 的终边上有一点 $P (4, m)$ ，且 $\sin α = - \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (2 π - α) \sin (\frac{π}{2} + α)}{\tan (π - α) \cos (- α)}$ 的值．

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21. 设 $x \in R$ ，函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ （其中 $ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < 0$ ）的最小正周期为 $π$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、在给定的坐标系中作出函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的图象；

(3)、根据（2）的图象，写出 $f (x) < \frac{1}{2}$ 时， $x$ 的取值范围．

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22. 某种矿石的市场价格与该矿石中某种杂质的含量有关，已知每吨矿石的市场价格 $y$ （元）与其杂质含量 $x$ （吨）的关系式是： $y = - 1000 x + 800$ ．矿石厂为提高收益，需不断过滤矿石中的杂质，工厂生产矿石初期的杂质含量是40%，每经过一次过滤均可使矿石杂质含量减少一半，记过滤次数为 $n (n \in N^{*})$ 时矿石中的杂质含量为 $m$ ．

(1)、求经过1次过滤以后每吨矿石的市场价格为多少元．

(2)、写出 $m$ 与 $n$ 的函数关系式．

(3)、问至少经过几次过滤才能使每吨矿石的市场价格不低于780元？

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