广东省东莞市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $a, b \in R$ ，且 $a < b < 0$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} > a b$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $a b < b^{2}$

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2. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ， $C = \frac{π}{4}$ ， $A B = 2$ ，则 $A C =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、3 D、 $3 \sqrt{3}$

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3. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ y \leq 3 \\ x - y - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则 $3 x - y$ 的最大值为（）

A、5 B、7 C、9 D、11

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4. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 6$ ， $S_{5} = 20$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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5. 2020年5月，《东莞市生活垃圾分类三年行动方案》出台.根据该方案，小明家所在小区设置了两个垃圾回收点A，B，他从自家楼下出发，向正北方向走80米，到达回收点A，再向南偏东60°方向走30米，到达回收点B，则他从回收点B回到自家楼下至少还需走（）

A、50米 B、57米 C、64米 D、70米

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6. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，过其焦点F的直线l交抛物线于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，若 $x_{1}$ ，3， $x_{2}$ 三个数构成等差数列，则线段 $| A B |$ 的长为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x + 4 a$ ， $g (x) = (a^{2} - 2 a) x + 4 a - 4$ ，若对于任意 $x \in (1, + \infty)$ ，均有 $f (x) > g (x)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(3, - 1)$ C、 $(- \infty, - 1)$ D、 $(3, + \infty)$

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8. 如图，已知曲线 $y = x^{2}$ 上有定点 $A$ ，其横坐标为 $a (a > 0)$ ， $A C$ 垂直于 $x$ 轴于点 $C$ ， $M$ 是弧 $O A$ 上的任意一点（含端点）， $M D$ 垂直于 $x$ 轴于点 $D$ ， $M E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $O E$ 与 $M D$ 相交于点 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹方程是（）

A、 $y = \frac{1}{a} x^{3} (0 \leq x \leq a)$ B、 $y = \frac{1}{2 a} x^{3} + \frac{a}{2} x (0 \leq x \leq a)$ C、 $y = 2 x^{2} - a x (0 \leq x \leq a)$ D、 $y = \frac{a}{2} x^{2} + \frac{a}{2} x (0 \leq x \leq a)$

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二、多选题

9. 已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{7 - m} + \frac{y^{2}}{m - 3} = 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\exists m \in (0, 3)$ ，曲线 $C$ 表示椭圆 B、 $\forall m \in (3, 5)$ ，曲线 $C$ 表示椭圆 C、 $\exists m \in (5, 7)$ ，曲线 $C$ 表示双曲线 D、 $\forall m \in (7, + \infty)$ ，曲线 $C$ 表示双曲线

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别是棱 $A A_{1}$ 和 $B B_{1}$ 的中点，则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{A C} ⊥ \vec{D_{1} N}$ B、 $\vec{M C} ⊥ \vec{D_{1} N}$ C、 $\vec{M C} \cdot (\vec{A_{1} B_{1}} - \vec{A_{1} D_{1}}) = 0$ D、 $\vec{M C} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{B_{1} B} + \vec{A D}$

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11. 若不等式 $a x^{2} - b x + c > 0$ 的解集是 $(- 1, 2)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $b < 0$ 且 $c > 0$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $a x^{2} - c x + b < 0$ 的解集是 $R$

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12. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，其前 $q$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且满足 $a_{1} > 1$ ， $a_{2020} \cdot a_{2021} > 1$ ， $(a_{2020} - 1) \cdot (a_{2021} - 1) < 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $0 < q < 1$ B、 $S_{2020} + 1 < S_{2021}$ C、 $T_{2020}$ 是数列 ${T_{n}}$ 中的最大项 D、 $T_{2021} > 1$

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三、填空题

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的一个焦点 $F$ 到其渐近线的距离为.

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14. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $(n^{2} + n) a_{n} = 1$ ，则 $S_{4} =$ .

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15. 四棱柱 $A B C D - A_{1} B C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ，则向量 $\vec{A C_{1}}$ 的模长 $| \vec{A C_{1}} | =$ .

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16. 从椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 发出的光线射到椭圆上的点 $P$ ，反射后光线经过椭圆的另一个焦点 $F_{2}$ ，事实上，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 处的切线 $\frac{x x_{0}}{a^{2}} + \frac{y y_{0}}{b^{2}} = 1$ 垂直于 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上除长轴端点外的任意一点， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线 $P T$ 交椭圆 $C$ 的长轴于点 $T (t, 0)$ ，则 $t$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 6 x + 8 < 0}$ ，集合 $B = {x | (x - m) (x - 3 m) 〈 0, m 〉 0}$ .

(1)、若 $1 \in B$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 在① $a + b = 8$ ， $c = 2 \sqrt{7}$ ，② $b + c = 10$ ， $\cos B = \frac{3}{4}$ 这两组条件中任选一组补充在下面问题的横线上，并进行解答.
已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a + 8 c \cos A = 8 b$ ，__________.

(1)、求 $\cos C$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = A B = B C$ ， $A D = 2 B C$ ， $E$ 是 $P B$ 的中点.

(1)、证明： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的大小.

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21. 目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高 $A B = 50 m$ ，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.

参考数据： $\sin 8 ° \approx 0.14$ ， $\sin 37 ° \approx 0.6$ ， $\sin 45 ° \approx 0.7$ ， $\sin 127 ° \approx 0.8$ .

(1)、求出山高BE（结果保留整数）；

(2)、如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离 $M D = x m$ ，且记在M处观测基站底部B的仰角为 $α$ ，观测基站顶端A的仰角为 $β$ .试问当 $x$ 多大时，观测基站的视角 $∠ A M B$ 最大?

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22. 已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $C$ ，其离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且经过点 $P (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $M (0, m)$ 的直线 $l$ （斜率存在且不为0）与椭圆 $C$ 交于两点 $T$ ， $Q$ ，设 $D (0, \frac{\sqrt{3}}{12})$ ，且满足 $| D T | = | D Q |$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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