安徽省淮南市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8}$ .集合 $A = {1 ， 3 ， 5} ， B = {1 ， 2 ， 5 ， 8}$ .则 $A \cap (C_{U} B)$ =（）

A、 ${3}$ B、 ${1 ， 5}$ C、 ${1 ， 3 ， 8}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 5}$

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2. “ $a > b > 0$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 下列各角中，与 $2021 °$ 终边相同的角为（）

A、41° B、139° C、221° D、-41°

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4. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{3}}$ ， $b = \log_{\frac{1}{3}} 2$ ， $c = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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5. 若 $f (\sqrt{x} + 1) = x + \sqrt{x}$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = x^{2} - x$ B、 $f (x) = x^{2} - x (x \geq 0)$ C、 $f (x) = x^{2} - x (x \geq 1)$ D、 $f (x) = x^{2} + x$

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6. 设扇形的周长为 $8 c m$ ，面积为 ${4cm}^{2}$ ，则扇形的圆心角的弧度数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 建造一个容积为8m³ ，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为（）

A、1120元 B、1280元 C、1760元 D、1960元

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8. 已知 $\cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{π}{6} < α < \frac{2 π}{3}$ ，则 $\cos (\frac{10 π}{3} + α) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$

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9. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 - a) x - \frac{a}{2} ， (x < 1) \\ \log_{a} x ， (x \geq 1) \end{array}$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， \frac{4}{3}]$ C、 $[\frac{4}{3} ， 2)$ D、 $(0 ， 1)$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x + 1 ， (x \leq 0) \\ e^{| x - 1 |} ， (x > 0) \end{array}$ ，若关于x的方程 ${[f (x)]}^{2} - 3 f (x) + a = 0 (a \in R)$ 有8个不等实根，则a的取值范围是（）

A、 $(2 ， \frac{9}{4})$ B、 $(0 ， \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{3} ， 3)$ D、 $(1 ， 2)$

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二、填空题

11. 已知函数f(x)= ${\begin{array}{l} \log_{3} x ， x > 0 \\ 2^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{9}))$ 的值为.

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12. 若“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + a < 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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13. 已知α为第二象限的角，sinα $= \frac{4}{5}$ ，则tan2α＝.

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14. 若正数 $a$ 、 $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{3 a + 2} + \frac{1}{3 b + 2}$ 的最小值为.

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15. 已知 $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$ 且 $- π < x < 0$ ，则 $\sin x - \cos x =$ ．

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三、解答题

16. 计算下列各式的值

(1)、 $\sqrt[4]{{(- 3)}^{4}} + {(π - 3)}^{0} + \log_{2} 64 - 27^{\frac{2}{3}}$

(2)、 $\frac{\sqrt{1 - 2 \sin 10 ° \cos 10 °}}{\sin 10 ° - \sqrt{1 - \sin^{2} 190 °}}$

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17. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + a}{2^{x} + 1}$ 是奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、用定义证明函数 $f (x)$ 在 $R$ 上为减函数；

(3)、若对任意的 $t \in [1 ， 2]$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )

(1)、若 $f (3 a - 1) > f (a)$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 3$ 时，求方程 $f (\frac{27}{x}) \cdot f (3 x) = - 5$ 的解.

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19. 已知函数 $f (x) = (2 \cos^{2} x - 1) \cdot \sin 2 x + \frac{1}{2} \cos 4 x$ .

(1)、求f(x)的最小正周期及单调递减区间；

(2)、若α∈(0，π)，且f( $\frac{a}{4}$ － $\frac{π}{8}$ )＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求tan(α＋ $\frac{π}{3}$ )的值．

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20. 把 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得 $g (x)$ 的图象，已知 $g (x)$ 图象如图所示

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $h (x) = f (x) - 2 g (x + \frac{π}{6})$ ，求 $h (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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