安徽省滁州市定远县重点中学2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 ${(\frac{3 + i}{1 - i})}^{2} =$ （）

A、 $- 3 - 4i$ B、 $- 3 + 4i$ C、 $3 - 4i$ D、 $3 + 4i$

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2. 已知命题p：∃x∈R，x²+x＜0，则￢p是（）

A、∃x∈R，x²+x＞0 B、∀x∈R，x²+x≥0 C、∀x∈R，x²+x＞0 D、∃x∈R，x²+x≥0

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 1, 1)$ ，点 $B (1, - 1)$ ，点P是动点，且直线 $A P$ 与 $B P$ 的斜之积等于 $\frac{1}{3}$ ，则动点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} - 3 y^{2} = - 2$ B、 $x^{2} - 3 y^{2} = - 2 (x \neq \pm 1)$ C、 $x^{2} - 3 y^{2} = 2$ D、 $x^{2} - 3 y^{2} = 2 (x \neq \pm 1)$

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4. P是椭圆 $x^{2} + 4 y^{2} = 16$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是该椭圆的两个焦点，且 $| P F_{1} | = 7$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、1 B、3 C、5 D、9

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5. 已知 $f (x)$ 是可导函数，且 $f (x) < x \ln x \cdot f^{'} (x)$ 对于 $\forall x > 0$ 恒成立，则（）

A、 $2 f (8) < 3 f (4) < 6 f (2)$ B、 $6 f (2) < 3 f (4) < 2 f (8)$ C、 $3 f (4) < 6 f (2) < 2 f (9)$ D、 $2 f (8) < 6 f (2) < 3 f (4)$

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6. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与直线 $y = \sqrt{3} x$ 没有公共点，则该双曲线的离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 2]$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, \sqrt{5}]$ D、 $(1, \sqrt{5})$

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7. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + x + 1) e^{x}$ ，则 $f (x)$ 在 $x = 0$ 的切线方程为（）.

A、 $x + y + 1 = 0$ B、 $x - y + 1 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $2 x + y + 1 = 0$

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8. 如图所示，过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F的直线l，交抛物线于点A，B．交其准线l于点C，若 $| B C | = \sqrt{2} | B F |$ ，且 $| A F | = \sqrt{2} + 1$ ，则此抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = \sqrt{2} x$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y^{2} = \sqrt{3} x$ D、 $y^{2} = 3 x$

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9. 已知函数 $f (x) = e^{2 x + 1} - e^{- 2 x} - m x$ 在 $R$ 上为增函数，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 2 \sqrt{e}]$ B、 $[2 \sqrt{e} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 4 \sqrt{e}]$ D、 $[4 \sqrt{e} ， + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = - 1$ ， $f^{'} (1) = 2$ ，则函数 $y = f (x) \cdot e^{x}$ 在 $x = 1$ 处的瞬时变化率为（）

A、1 B、2 C、e D、2e

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11. 计算 $\int_{0}^{2} (\sqrt{4 - x^{2}} - 2 x) d x =$ （）

A、 $2 π - 4$ B、 $π - 4$ C、 $\ln 2 - 4$ D、 $\ln 2 - 2$

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12. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $G$ 是底面 $Δ$ $A B C$ 的重心，则 $\overset{⇀}{O G}$ 等于（）

A、 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{6} \overset{⇀}{O C}$ D、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O C}$

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二、填空题

13. 已知命题p：∀x∈[1，2]，x²－a≥0，命题q：∃x∈R，x²＋2ax＋2－a＝0，若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围是.

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14. 斜率为 $\frac{4}{3}$ 的直线 $l$ 经过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F (1, 0)$ 且与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，则线段 $A B$ 的长为．

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15. 已知奇函数 $f (x)$ 是定义在R上的可导函数，当 $x > 0$ 时，有 $2 f (x) + x f^{'} (x) > x^{2}$ ，则不等式 ${(x + 2021)}^{2} f (x + 2021) + 4 f (- 2) < 0$ 的解集为.

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16. 如图阴影部分是由曲线 $y = \frac{1}{x}$ ， $y^{2} = x$ 与直线 $x = 2$ ， $y = 0$ 围成，则其面积为．

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三、解答题

17. 设命题 $p ：$ 对任意 $x \in [0, 1]$ ，不等式 $2 x - 2 \geq m^{2} - 3 m$ 恒成立；命题q：存在 $x \in [- 1, 1]$ ，使得不等式 $x^{2} - x - 1 + m \leq 0$ 成立.

(1)、若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 $1 + \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (0 ， 2)$ 的直线 $l$ (不过原点 $O$ )与椭圆 $C$ 交于两点 $A$ ､ $B$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点.
（i）证明：直线 $O M$ 与 $l$ 的斜率乘积为定值；

（ii）求 $△ O A B$ 面积的最大值及此时 $l$ 的斜率.

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19. 已知双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，动直线 $l ： y = k x + m$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 $P_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ .

(1)、求 $k$ 的取值范围，并求 $x_{2} - x_{1}$ 的最小值；

(2)、记直线 $P_{1} A_{1}$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $P_{2} A_{2}$ 的斜率为 $k_{2}$ ，那么， $k_{1} \cdot k_{2}$ 是定值吗？证明你的结论.

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20. 已知点F为抛物线E：y²＝2px（p＞0）的焦点，点 $A (2 ， m)$ 在抛物线E上，
且|AF|＝3.

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、已知点 $G (- 1 ， 0)$ ，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

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21. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x$ （ $a \in R$ ），且曲线 $f (x)$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处的切线与直线 $y = - \frac{3}{4} x - 1$ 平行.

(1)、求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $y = f (x) - m$ 在区间 $[- 3 ， \sqrt{3}]$ 上有三个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 如图，以两条互相垂直的公路所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，公路附近有一居民区EFG和一风景区，其中 $OE = 1 ($ 单位：百米 $)$ ， $∠ OEF = 45^{\circ}$ ，风景区的部分边界为曲线C，曲线C的方程为 $y = \frac{1}{x} (\frac{3}{2} \leq x \leq 5)$ ，拟在居民和风景区间辟出一个三角形区域EMN用于工作人员办公，点M，N分别在x轴和EF上，且MN与曲线C相切于P点．

(1)、设P点的横坐标为t，写出 $△ EMN$ 面积的函数表达式 $S (t)$ ；

(2)、当t为何值时， $△ EMN$ 面积最小？并求出最小面积．

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