安徽省合肥市巢湖市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x \in R | x > 3}$ ，则图中阴影部分所表示的集合是（）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 全称量词命题“对于任意正奇数 $n$ ，所有不大于 $n$ 的正奇数的和都是 ${(\frac{n + 1}{2})}^{2}$ ”的否定为（）

A、对于任意正奇数 $n$ ，所有不大于 $n$ 的正奇数的和都不是 ${(\frac{n + 1}{2})}^{2}$ B、对于任意正奇数 $n$ ，所有不大于 $n$ 的正奇数的和都大于 ${(\frac{n + 1}{2})}^{2}$ C、存在正奇数 $n$ ，使得所有不大于 $n$ 的正奇数的和不是 ${(\frac{n + 1}{2})}^{2}$ D、存在正奇数 $n$ ，使得所有不大于 $n$ 的正奇数的和是 ${(\frac{n + 1}{2})}^{2}$

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3. 下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）

A、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \lg 10^{x}$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ ， $g (x) = x - 1$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ D、 $f (x) = 1$ ， $g (x) = x^{0}$

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4. 已知 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\cos (α + β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos β =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{1 + 2 \sqrt{6}}{6}$

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5. 已知 $a > 0$ ， $b < 0$ ， $a + b > 0$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a^{2} > - a b$ C、 $a + b > a - b$ D、 $- 2 a > 2 b$

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6. 已知 $a = \ln 2$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = \log_{2} \frac{1}{e}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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7. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ ，则不等式 $f (2 x^{2}) + f (- x - 1) < 0$ 成立的一个充分不必要条件为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \frac{1}{2}, 1)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (1, + \infty)$

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8. 若函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - a x + 3 a)$ 在 $[2, + \infty)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $(- 4, 4]$ C、 $(- 4, + \infty)$ D、 $[- 4, 4)$

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9. 已知 $x$ ， $y \in (0, + \infty)$ ，且 $x + y = 1$ ，若不等式 $x^{2} + y^{2} + x y > \frac{1}{2} m^{2} + \frac{1}{4} m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{2}, 1)$ B、 $[- \frac{3}{2}, 1]$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (1, + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 5) x^{m^{2} - 6}$ 是幂函数，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，若 $a$ ， $b \in R$ ，且 $a + b > 0$ ，则 $f (a) + f (b)$ 的值（）

A、恒大于0 B、恒小于0 C、等于0 D、无法判断

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11. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $- π < φ < 0$ ）的图象关于点 $(\frac{π}{8} ， 0)$ 对称，且其相邻对称轴间的距离为 $\frac{2 π}{3}$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期 $T = \frac{2 π}{3}$ B、 $φ = - \frac{5 π}{8}$ C、 $g (x) = \cos (\frac{3}{2} x - \frac{17 π}{48})$ D、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调递减区间为 $[\frac{π}{8} ， \frac{π}{2}]$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{2} x | ， x > 0 ， \\ | x + 1 | ， x \leq 0. \end{array}$ 若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ （ $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 互不相等），则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围是（注：函数 $h (x) = x + \frac{1}{x}$ 在 $(0 ， 1]$ 上单调递减，在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增）（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ B、 $[- \frac{1}{2} ， 0]$ C、 $[0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}]$

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二、填空题

13. $\sin 95 ° + \cos 185 ° + \tan 240 ° =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x (x > 0) \\ {(\frac{1}{2})}^{x} (x \leq 0) \end{array}$ ，若 $f (a) = 4$ ，则 $a =$ .

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15. 已知在 $△ A B C$ 中， $\cos (A + B) > 0$ ， $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\sin 2 C =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = \ln (1 + | x |) - \frac{1}{1 + | x |}$ ，若 $f (\log_{a} 3) \geq f (1)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 设集合 $A = {y | y = {(\frac{1}{2})}^{x}, - 2 \leq x \leq 0}$ ， $B = {x | 0 \leq \ln x \leq 1}$ ， $C = {x | t + 1 < x < 2 t, t \in R}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap C = C$ ，求 $t$ 的取值范围.

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18.

(1)、化简： $(\tan 20 ° - \sqrt{3}) \cdot \frac{\cos 20 °}{\sin 40 °}$ ；

(2)、证明： $\frac{1 + \tan (3 π - x)}{1 - \tan (3 π - x)} = \frac{1 - \sin 2 x}{1 - 2 \sin^{2} x}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = 2 x - \frac{1}{x}$ ， $x \in (0, + \infty)$ .

(1)、用函数单调性的定义证明： $f (x)$ 是增函数；

(2)、若 $g (x) = f (- \log_{2} x) + \frac{3}{- \log_{2} x}$ ，则当 $x$ 为何值时， $g (x)$ 取得最小值？并求出其最小值.

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20. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出 $A$ 万元，则奖励 $\log_{2} (A + 1)$ 万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为 $y$ 万元，年销售利润为 $x$ 万元.

(1)、写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的最大值和最小正周期相同， $f (x)$ 的图象过点 $(0, \sqrt{3})$ ，且在区间 $[0, \frac{1}{12}]$ 上为增函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + 1$ 在区间 $(0, b)$ 上只有4个零点，求b的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = m x - \ln (e^{x} + 1)$ .

(1)、若 $m = \frac{1}{2}$ ，判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若 $m = 1$ ，不等式 $f (x) > - 1$ 的解集；

(3)、若 $m = 1$ ， $g (x) = e^{2 x - 2 f (x)} - 6 e^{x}$ ，且存在 $x_{0} \in [0, 1]$ ，使得 $n > g (x_{0})$ 成立，求实数 $n$ 的取值范围.

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