安徽省池州市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in R$ ， $4 x^{2} + \cos x > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $4 x^{2} + \cos x < 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $4 x^{2} + \cos x \leq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $4 x^{2} + \cos x < 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $4 x^{2} + \cos x \leq 0$

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2. 若直线 $l_{1} ： 2 x - 5 y + 4 = 0$ 与 $l_{2}$ 互相平行，且 $l_{2}$ 过点 $(2 ， 1)$ ，则直线 $l_{2}$ 的方程为（）

A、 $5 x + 2 y - 12 = 0$ B、 $2 x - 5 y + 1 = 0$ C、 $5 x - 2 y - 8 = 0$ D、 $2 x - 5 y - 9 = 0$

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3. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{15} = 1$ 的焦点到渐近线的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $\sqrt{31}$

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4. 已知空间任意一点О和不共线的三点A，B，C，若 $\vec{O D} = m \vec{O A} + n \vec{O B} + p \vec{O C} (m ， n ， p \in R)$ ，则“A，B，C，D四点共面”是“ $m = \frac{3}{2}$ ， $n = \frac{1}{2}$ ， $p = - 1$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 10 y - 2 = 0$ ，则 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的公切线条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 设m，n是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，现有如下命题：
①若 $m ⊥ α$ ， $m / / n$ ，则 $n ⊥ α$ ；②若 $m ⊥ α$ ， $m / / n$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ ；③若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ ；则正确命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 下图中小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）

A、 $\frac{61}{2}$ B、 $\frac{63}{2}$ C、 $\frac{45}{2}$ D、 $\frac{47}{2}$

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过点F且斜率为2的直线l与C交于M，N两点，若 $| M N | = 10$ ，则 $p =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 2$ 关于直线 $x - 2 y + 5 = 0$ 对称的圆的方程为（）

A、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 2$ C、 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 2$ D、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 2$

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10. 如图所示，在四面体ABCD中， $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = 1$ ， $C D = \frac{1}{2}$ ， $∠ A C D = 60 °$ ， $A B ⊥ C D$ ，则 $B D =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，的体积为 $16 \sqrt{3}$ ，底面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球表面积为（）

A、 $\frac{112}{3} π$ B、 $\frac{56}{3} π$ C、 $\frac{224}{3} π$ D、28π

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $| M_{i} F_{1} | - | M_{i} F_{2} | = 2 a (i = 1 ， 2)$ ，且 $M_{1}$ ， $F_{2}$ ， $M_{2}$ 三点共线，点D在线段 $M_{2} F_{1}$ 上，且 $∠ F_{1} M_{1} D = ∠ M_{2} M_{1} D$ ， $\vec{M_{1} F_{1}} + 2 \vec{M_{1} F_{2}} = 2 \vec{M_{1} D}$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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二、填空题

13. 命题“若 $x > 0$ ，则 $x^{2} + y^{2} \neq 0$ ”的逆否命题为．

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14. 若直线 $l_{1} ： 3 x - y = 0$ 与 $l_{2} ： x + y - 4 = 0$ 交于点A，且 $B (2 ， 0)$ ，则 $| A B | =$ ．

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15. 已知直线 $l ： 3 x - y - 1 = 0$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 3 x$ 交于M，N两点，O为坐标原点，则 $△ O M N$ 的面积为．

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为8，点E，F分别是线段CD，BC的中点，平面 $α$ 过点 $A_{1}$ ，E，F且与正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 形成一个截面图形，现有如下说法：
①截面图形是一个六边形；

②若点I在正方形 $C D D_{1} C_{1}$ 内（含边界位置），且 $I \in$ 平面 $α$ ，则点I的轨迹长度为 $\frac{2 \sqrt{13}}{3}$ ；

③截面图形的周长为 $2 \sqrt{13} + \sqrt{2}$ ；

则说法正确命题的序号为．

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三、解答题

17. 已知圆台上、下底面的底面积分别为 $16 π$ ， $81 π$ ，且母线长为13．

(1)、求圆台的高；

(2)、求圆台的侧面积．

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18. 如图所示，直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形ABCD为菱形，点E是线段 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A C_{1} / /$ 平面BDE；

(2)、求证： $B D ⊥ A_{1} E$ ．

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19. 已知圆C过点 $(2 ， - 3)$ ， $(0 ， - 3)$ ， $(0 ， - 1)$ ，点A在直线 $l ： k x - y - 4 = 0$ 上．

(1)、求圆C的方程；

(2)、过点A能够作直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与圆C相切，切点分别为M，N，若 $∠ M A N = 90 °$ ，求k的取值范围．

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20. 已知命题 $p ： \forall x \in [2 ， + \infty)$ ， $2 x^{2} - 12 m x + 9 \geq 0$ ；命题q：方程 $\frac{x^{2}}{2 m - 1} - \frac{y^{2}}{3 - 4 m} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆．

(1)、若q为真，求实数m的取值范围；

(2)、若 $p \land q$ 是假命题， $p \lor q$ 是真命题，求实数m的取值范围．

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21. 如图所示，四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $S A ⊥$ 平面ABCD， $∠ S D A = 45 °$ ，M，N，Р分别是SA，AB，SC的中点， $A B = \sqrt{2} A D$ ．

(1)、求直线CM，BP所成角的余弦值；

(2)、求直线CN与平面DMN所成角的正弦值．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．且过点 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{15}}{4})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知点M到原点的距离为 $\sqrt{5}$ ，过点M的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与椭圆C均仅有一个公共点，分别记为A，B，求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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