安徽省蚌埠市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $A = {2, 3, 4}$ ， $B = {3, 5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $B \subseteq A$ B、 $∁_{U} A = {1, 5}$ C、 $A \cup B = {3}$ D、 $A \cap B = {2, 4, 5}$

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2. 若 $a > b$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $3^{a} < 3^{b}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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3. “ $\exists x \in R$ ， $x + | x | < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x + | x | \geq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x + | x | \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x + | x | < 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x + | x | \leq 0$

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4. “ $a < b$ ”是“ $| a | > | b |$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ 0 ， x = 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array} ， g (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x 为有理数 \\ 0 ， x 为为无理数 \end{array}$ ，则f(g(π))的值为（）

A、1 B、0 C、-1 D、π

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6. $\sqrt{2}$ 是我们熟悉的无理数，在用二分法求 $\sqrt{2}$ 的近似值的过程中，可以构造函数 $f (x) = x^{2} - 2 (x > 0)$ ，我们知道 $f (1) \cdot f (2) < 0$ ，所以 $\sqrt{2} \in (1, 2)$ ，要使 $\sqrt{2}$ 的近似值满足精确度为0.1，则对区间 $(1, 2)$ 至少二等分的次数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $[0, 2]$ ，则函数 $g (x) = f (x + \frac{1}{2}) + f (x - \frac{1}{2})$ 的定义域是（）

A、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ B、 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{2}]$ C、 $[- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ D、 $[0, 2]$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ ， $a = f (2^{0.3})$ ， $b = f ({0.2}^{0.3})$ ， $c = f (\log_{0.3} 2)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

9. 下列命题是真命题的有（）

A、有甲、乙、丙三种个体按 $3 : 1 : 2$ 的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 B、数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同 C、若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙 D、一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5

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10. 已知函数 $f (x) = [x]$ （ $[x]$ 指不超过 $x$ 的最大整数），下列说法正确的是（）

A、 $x - 1 < f (x) \leq x$ B、 $f (x)$ 为增函数 C、 $f (x)$ 为奇函数 D、 $y = x - f (x)$ 的值域为 $[0, 1)$

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11. 下列说法中正确的是（）

A、若 $x > 2$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为 $3$ B、若 $m + n = 2$ ，则 $2^{m} + 2^{n}$ 的最小值为 $4$ C、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y + x y = 3$ ，则 $x y$ 的最小值为 $1$ D、若 $x > 1, y > 0$ 满足 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{y}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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12. 给定非空数集 $M$ ，若对于任意 $a$ ， $b \in M$ ，有 $a + b \in M$ ，且 $a - b \in M$ ，则称集合 $M$ 为闭集合，下列说法正确的是（）

A、自然数集是闭集合 B、集合 $M = {x | x = a + b \sqrt{2}, a, b \in Z}$ 为闭集合 C、 $0 \in M$ D、存在两个闭集合 $A_{1}$ ， $A_{2} ⊊ R$ ，使得 $A_{1} \cup A_{2} = R$

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(4, 2)$ ，则其解析式为 $f (x) =$ .

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14. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $x \in R$ ）的部分对应值如下表：

$x$

-3

-2

-1

0

1

$y$

-10

-4

0

2

2

则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为.

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15. $\frac{1}{2} \lg 25 + \lg 2 + 7^{\log_{7} 3} =$ .

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16. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | a \leq x \leq a + 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (1 + a x) - \log_{2} (1 - x)$ （ $a > 0$ ）是奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、解不等式 $f (x) + f (2 x - 1) \geq 0$ .

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19. 在① $\forall x \in [- 2, 2]$ ，② $\exists x \in [1, 3]$ 这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.
已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + 4$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上的值域；

(2)、若 ▲ ， $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

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20. 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽取100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.

(1)、A类工人和B类工人各抽取多少人？

(2)、将A类工人和B类工人的抽查结果分别绘制成频率分布直方图（如图1和图2）.

①就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

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21. 袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.

(1)、求甲、乙成平局的概率；

(2)、从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.

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22. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足：
① $f (0) = 1$ ；

②任意的 $x$ ， $y \in R$ ， $f (x - y) = f (x) f (y) - g (x) g (y)$ .

(1)、求 $f^{2} (x) - g^{2} (x)$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性.

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23. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足：① $f (0) = 1$ ；② $g (x)$ 为奇函数；③ $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $g (x) > 0$ ；④任意的 $x$ ， $y \in R$ ， $f (x - y) = f (x) f (y) - g (x) g (y)$ .

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性.

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$x$	-3	-2	-1	0	1
$y$	-10	-4	0	2	2