安徽省宣城市2020-2021学年高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集为 $R$ ，集合 $A = {x | \log_{2} x < 1}$ ， $B = {x | x^{2} \geq 1}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 2}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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2. 设复数 $z$ 满足： $(1 + i) z = 2 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{3}{2}$

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3. 已知 $a = 10^{- 0.3}$ ， $b = \log_{3} 6$ ， $c = \log_{2} \sqrt{7}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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4. 函数 $f (x) = \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot 2^{\sin | x |}$ 在 $[- π ， π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在二项式 ${(2 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{12}$ 的展开式中，有理项共有（）

A、3项 B、4项 C、5项 D、6项

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6. 德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 $36^{\circ}$ 的等腰三角形（另一种是顶角为 $108^{\circ}$ 的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 $△ A B C$ 中， $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .根据这些信息，可得 $\sin 126^{\circ} =$ （）

A、 $\frac{1 - 2 \sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{8}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{4 + \sqrt{5}}{8}$

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7. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \frac{2 \sqrt{3}}{3} | \vec{b} |$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = \frac{15}{2}$ ， $a_{3} a_{4} = - \frac{9}{2}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}} + \frac{1}{a_{6}} =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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9. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为1 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上只有1个零点

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10. 如图，在圆心角为直角的扇形 $O A H$ 中，分别以 $O A$ ， $O H$ 为直径作两个半圆，在扇形 $O A H$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

A、 $\frac{1}{π}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{π - 4}{2 π}$ D、 $\frac{π - 2}{π}$

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11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A P = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 45 °$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积是（）

A、14π B、16π C、18π D、20π

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12. 已知 $O$ 为坐标原点设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - y^{2} = 1$ 的左右焦点， $P$ 为双曲线左支上的任意一点，过点 $F_{1}$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线的垂线，垂足为 $H$ ，则 $| O H | =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 若曲线 $y = 5 e^{x} - 6 x + 2$ 的一条切线与直线 $l ： x - y + 6 = 0$ 互相垂直，则该切线的方程为.

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14. 已知首项为1的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{2 n - 1} \cdot a_{2 n + 1}}} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} =$ .

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15. 设 $X \sim N (5, σ^{2})$ ，若 $X \in (5, 9)$ 的概率为0.45，则 $X \in (1, + \infty)$ 的概率为.

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16. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ， $A (- a ， 0)$ ， $B (0 ， b)$ ， $C (0 ， - b)$ 分别为其三个顶点.直线 $C F$ 与 $A B$ 交于点 $D$ ，若椭圆的离心率 $e = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan ∠ B D C =$ .

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三、解答题

17. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a + b) \sin A = c \sin C + (2 a - b) \sin B$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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18. 某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄､蓝两种颜色的单车，已知黄､蓝两种颜色单车的投放比例为 $1 : 2$ .监管部门为了解两种颜色单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.

(1)、求抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率；

(2)、在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车数量用 $ξ$ 表示，求 $ξ$ 的分布列及数学期望.

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19. 如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $△ A D E$ 为等边三角形，且平面 $A D E ⊥$ 平面 $C D E F$ ， $A B = \sqrt{2} A D$ .

(1)、证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $B F ⊥ D F$ ，求二面角 $F - B C - D$ 的余弦值.

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20. 已知抛物线E： $x^{2} = 2 p y$ （ $0 < p < 2$ ）的焦点为F，圆C： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 为抛物线上一动点.当 $| P F | = \frac{5}{2} P$ 时， $Δ P C F$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、若 $y_{0} > \frac{1}{2}$ ，过点P作圆C的两条切线分别交y轴于M，N两点，求 $Δ P M N$ 面积的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} + a (x - 1) - e$

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 内存在零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点 $(1, 0)$ 且倾斜角为60°，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos α \\ y = \sqrt{3} \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.

(1)、以原点为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；

(2)、求直线l被曲线C所截得的线段的长度.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 2 | + | x - 6 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) > 10$ 的解集；

(2)、记集合 $A = {x | f (x) - \sqrt{5} a = 0}$ ，若 $A \neq ϕ$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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