高中数学2021年全国高等学校招生统一考试模拟试卷

试卷更新日期：2021-02-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {y | | y | = x^{2} + 1, x \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1, 2}$ C、 ${- 2, 0, 2}$ D、 ${- 2, - 1, 1, 2}$

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2. 已知 $x = \log_{0.1} 5$ ， $y = \log_{7} \sqrt{5}$ ，则（）

A、 $x + y < x y < 0$ B、 $x y < x + y < 0$ C、 $x + y < 0 < x y$ D、 $x y < 0 < x + y$

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3. 函数 $f (x) = \frac{\sin 5 x}{\ln | x |}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 当复数 ${(\frac{1 - a i}{1 + a i})}^{2021} = i$ 时，实数 $a$ 的值可以为（）

A、0 B、1 C、-1 D、±1

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5. 如图，在半径为2的扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = \frac{3 π}{4}$ ， $P$ 是弧 $A B$ 上的一个三等分点， $M ， N$ 分别是线段 $O A$ ， $O B$ 上的动点，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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6. 在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点P在CD边上运动(如图甲)，现以AP为折痕将 $△ D A P$ 折起，使得点D在平面ABCP内的射影 $O$ 恰好落在AB边上(如图乙)．设 $C P = x (0 < x < 1)$ 二面角D-AP-B的余弦值为 $y$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，若灯口直径是 $20 c m$ ，灯深 $10 c m$ ，则光源到反光镜顶点的距离是（）

A、 $2.5 c m$ B、 $3.5 c m$ C、 $4.5 c m$ D、 $5.5 c m$

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8. 自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将 $A$ 房产中介公司2010-2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010-2013年，2014-2016年，2017-2019年的数据分别建立回归直线方程 $\hat{y} = {\hat{b}}_{1} x + {\hat{a}}_{1}$ 、 $\hat{y} = {\hat{b}}_{2} x + {\hat{a}}_{2}$ 、 $\hat{y} = {\hat{b}}_{3} x + {\hat{a}}_{3}$ ，则（）

A、 ${\hat{b}}_{1} > {\hat{b}}_{2} > {\hat{b}}_{3}$ ， ${\hat{a}}_{3} > {\hat{a}}_{2} > {\hat{a}}_{1}$ B、 ${\hat{b}}_{2} > {\hat{b}}_{1} > {\hat{b}}_{3}$ ， ${\hat{a}}_{3} > {\hat{a}}_{2} > {\hat{a}}_{1}$ C、 ${\hat{b}}_{1} > {\hat{b}}_{2} > {\hat{b}}_{3}$ ， ${\hat{a}}_{3} > {\hat{a}}_{1} > {\hat{a}}_{2}$ D、 ${\hat{b}}_{2} > {\hat{b}}_{1} > {\hat{b}}_{3}$ ， ${\hat{a}}_{3} > {\hat{a}}_{1} > {\hat{a}}_{2}$

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二、多选题

9. 太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $y = x^{3}$ 是圆O的一个太极函数 B、圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 C、函数 $y = \sin x$ 是圆O的一个太极函数 D、函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称是 $f (x)$ 为圆O的太极函数的充要条件

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10. 设 ${a_{n}}$ 是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意 $n \in N_{+}$ ，均有 $a_{n + k} > a_{n}$ ，则称 ${a_{n}}$ 是间隔递增数列，k是 ${a_{n}}$ 的间隔数，下列说法正确的是（）

A、公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B、已知 $a_{n} = n + \frac{4}{n}$ ，则 ${a_{n}}$ 是间隔递增数列 C、已知 $a_{n} = 2 n + {(- 1)}^{n}$ ，则 ${a_{n}}$ 是间隔递增数列且最小间隔数是2 D、已知 $a_{n} = n^{2} - t n + 2020$ ，若 ${a_{n}}$ 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 $4 \leq t < 5$

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11. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = A A_{1} = 2$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，D，E，F分别为AC， $A A_{1}$ ，AB的中点．则下列结论正确的是（）

A、 $A C_{1}$ 与EF相交 B、 $B_{1} C_{1} / /$ 平面DEF C、EF与 $A C_{1}$ 所成的角为 $90 °$ D、点 $B_{1}$ 到平面DEF的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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12. 已知 $a > 0$ ， $m (x) = e^{x - 2} - e^{2 - x}$ ， $f (x) = a m (x) - \sin π x$ ，若 $f (x)$ 存在唯一零点，下列说法正确的有（）

A、 $m (x)$ 在 $R$ 上递增 B、 $m (x)$ 图象关于点 $(2, 0)$ 中心对称 C、任取不相等的实数 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，均有 $\frac{m (x_{1}) + m (x_{2})}{2} < m (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ D、 $a \geq \frac{π}{2}$

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三、填空题

13. 雷神山医院从开始设计到建成完工，历时仅十天.完工后，新华社记者要对部分参与人员采访.决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人，则从工人中抽取的人数为；

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14. 已知 ${(a x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中的常数项为60，则 $a =$ .

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15. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的部分图像，如图所示，若 $| A B | = 5$ ，则 $ω$ 的值为.

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16. 已知圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 3$ ，从点 $P (- 1 ， - 3)$ 发出的光线，经直线 $y = x + 2$ 反射后，恰好经过圆心 $C$ ，则入射光线的斜率为.

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四、解答题

17. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且 $a \cos B = 1$ ， $b \sin A = 2$ .

(1)、求 $\sin (A + C)$ ；

(2)、当 $b^{2} + c^{2}$ 取最小值时，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = \frac{n (n - 1)}{2}$ ，各项均为正数的等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ， ▲ ，且 $b_{3} = 4$ .
在① $T_{2} = 3$ ；② $T_{3} = 7$ ；③ $b_{4} - b_{3} = 2 b_{2}$ 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前n项和为 $A_{n}$ ，求证： $A_{n} < 2$ .
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形 $A B / / D C ， B C = C D = A D = 2 ， A B = 4 ， M ， N$ 分别是 $A B ， A D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P M N ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若二面角 $C - P N - D$ 的大小为60°，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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20. 某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．

组别	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100)$
频数	25	150	200	250	225	100	50

(1)、已知此次问卷调查的得分

Z

服从正态分布

N (μ, 210)

，

μ

近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求

P (36 < Z \leq 79.5)

；

(2)、在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.

（ⅰ）得分不低于 $μ$ 的可以获赠 $2$ 次随机话费，得分低于 $μ$ 的可以获赠 $1$ 次随机话费；

（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.

赠送的随机话费/元	20	40
概率	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

现市民甲要参加此次问卷调查，记 $X$ 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 $X$ 的分布列及数学期望．

附： $\sqrt{210} \approx 14.5$ ，若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ， $D (1, \frac{3}{2})$ 为椭圆上一点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知 $F$ 为椭圆 $C$ 的右焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆(异于椭圆顶点)于 $A$ 、 $B$ 两点，试判断 $\frac{1}{| A F |} + \frac{1}{| B F |}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a x - x \ln x$ ， $g (x) = \frac{b x}{1 + x^{2}}$ ． $a$ 、 $b \in R$ ，

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知函数 $f (x)$ 的极大值为1，
①若 $b = 2$ ，设 $1 < n < m$ ，证明： $f (m) < g (n)$ ；

②设 $t (x) = f (x) - g (x)$ ，判断函数 $t (x)$ 零点个数，并说明理由.

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