陕西省安康市紫阳县2021届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-20 类型：期末考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）

1. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、一名运动员跳高的最好成绩是20.1米 B、一人买一张火车票，座位刚好靠窗口 C、通常加热到100℃时，水沸腾 D、购买一张彩票，中奖

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2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个红球和m个黄球，随机从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀.大量重复试验后，发现摸出红球的频率稳定在0.2附近，则m的值为（）

A、8 B、10 C、6 D、4

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4. 若关于x的方程 $x^{2} + x - a + \frac{9}{4} = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）

A、 $a < 2$ B、 $a \leq 2$ C、 $a \geq 2$ D、 $a > 2$

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5. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转到 $△ A D E$ 的位置，且点D恰好在AC边上，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $B C = D E$ B、 $∠ A B C = ∠ A D E$ C、AC平分 $∠ B A E$ D、 $B C ∥ A E$

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6. 如图，函数 $y = \frac{k}{x}$ 与 $y = - k x + 1 (k \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3个信封，现将编号为Ⅰ，Ⅱ的两封信，随机的放入其中两个信封里，则信封与信编号都相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某家餐厅重新开张，开业第一天收入约为3020元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第三天收入约为4350元.设每天的增长率为x，根据题意可列方程为（）

A、 $3020 {(1 - x)}^{2} = 4350$ B、 $3020 (1 + 2 x) = 4350$ C、 $3020 {(1 + x)}^{2} = 4350$ D、 $3020 (1 - 2 x) = 4350$

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9. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，点C，点D是 $⊙ O$ 上的两点，连接CA，CD，AD.若 $∠ C A B = 50 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数是（）

A、110° B、120° C、130° D、140°

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10. 若抛物线 $y = x^{2} + a x + b$ 与x轴两个交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线 $x = 2$ ，将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线经过点（）

A、 $(1, - 6)$ B、 $(1, - 1)$ C、 $(1, 0)$ D、 $(1, 8)$

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二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）

11. 一元二次方程 $x^{2} - 6 x = 0$ 的解是.

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12. 如图，正六边形ABCDEF内接于 $⊙ O$ ，若 $A B = 3 cm$ ，则 $⊙ O$ 的半径为.

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13. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过 $△ A B C$ 的顶点A，点C在x轴上， $A B ∥ x$ 轴.若点B的坐标为 $(1 ， 3)$ ， $S_{△ A B C} = 2$ ，则k的值为.

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14. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 4 cm$ ，点E在CD边上，且 $D E = 1$ ，将 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转90°，得到 $△ A B E^{'}$ ，连接 $E E^{'}$ ，则线段 $E E^{'}$ 的长为.

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三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）

15. 解方程： $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ .

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16. 如图， $\overset{⌢}{A B}$ 的半径 $O A = 2$ ， $O C ⊥ A B$ 于点C， $∠ A O C = 60 °$ .求 $\overset{⌢}{A B}$ 的长.

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，请用尺规作图法求作 $R t △ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ .（保留作图痕迹，不写作法）

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18. 如图， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 2 ， - 4)$ ， $B (0 ， - 4)$ ， $C (2 ， - 1)$ .画出 $△ A B C$ 绕原点O逆时针旋转90°后得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $C_{1}$ 的坐标.

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - k x + k - 2 = 0$ .

(1)、若 $x = - 1$ 是该方程的一个根，求k的值；

(2)、请判定这个方程根的情况.

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20. 如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为 $135 m^{2}$ ，求道路的宽度.

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21. 元旦晚会上，甲、乙、丙、丁四个同学玩“击鼓传花”的游戏，游戏规则是：第一次由甲将花随机传给乙、丙、丁三人中的某一人，以后的每一次传花都是由接到花的人随机传给其他三人中的某一人.

(1)、甲第一次传花时，求恰好传给乙的概率；

(2)、请用画树状图或列表法求经过两次传花后，花恰好回到甲手中的概率.

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22. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与直线 $l ： y = \frac{2}{3} x - 1$ 相交于A，B两点，过点A作 $A C ⊥ x$ 轴，垂足为点C，且 $A C = 1$ .

(1)、求反比例函数的表达式及点B的坐标；

(2)、观察图象，求出不等式 $\frac{2}{3} x - \frac{k}{x} > 1$ 的解集.

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23. 如图，在 $⊙ O$ 中，AB为直径，CD与 $⊙ O$ 相切于点C，弦 $C F ⊥ A B$ 于点E，连接AC.

(1)、求证： $∠ A C D = ∠ A C F$ ；

(2)、当 $A D ⊥ C D$ 时， $B E = 3 cm$ ， $C F = 12 cm$ ，求AD的长.

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24. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过x轴上 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，点D是其顶点，连接BD.

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 $△ B C Q$ 是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

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25. 如图①，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别在AB，AC上，且 $D E ∥ B C$ ， $A D = A E$ .

(1)、求证： $∠ B = ∠ C$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 90 °$ ，把 $△ A D E$ 绕点A逆时针旋转到图②的位置，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MN，PM，PN.
①试判断 $△ P M N$ 的形状，并说明理由；

②将 $△ A D E$ 绕点A在平面内自由旋转，若 $A D = 4$ ， $A B = 10$ ，则 $△ P M N$ 面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

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