浙江省台州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x - y + 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、45° B、60° C、120° D、135°

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2. 若空间一点 $M (a - 1, 0, 1 + 1)$ 在 $z$ 轴上，则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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3. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm 4 x$

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4. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $C C_{1}$ 的中点，则直线 $A D$ 与直线 $B E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. 已知圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 3 = 0$ ，则两圆的公切线的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $l$ 是一条直线，且 $l ⊥ α$ ，则“ $l ⊥ β$ ”是“ $α // β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $M$ 是 $x$ 轴正半轴上的一点，线段 $F M$ 交抛物线于点 $A$ ，过 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ .若 $B F ⊥ B M$ ，则 $| F M | =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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8. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm³）是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 如图，在侧棱垂直底面的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \frac{\sqrt{2}}{2} A A_{1}$ ， $D$ ， $E$ 分别是棱 $A B$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $F$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一动点，记二面角 $D - E F - B$ 的大小为 $α$ ，则在 $F$ 从 $C_{1}$ 运动到 $C$ 的过程中， $α$ 的变化情况为（）

A、增大 B、减小 C、先增大再减小 D、先减小再增大

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10. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 是双曲线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 在第二象限的一个交点，点 $Q$ 在双曲线上，且 $\vec{F_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{F_{2} Q}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{39}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{37}}{5}$

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二、填空题

11. 已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0, 3)$ ，则 $| \vec{a} | =$ ， $\vec{a} + \vec{b} =$ .

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12. 已知直线 $l_{1} : m x + 2 y - 3 = 0$ 与 $l_{2} : 3 x - y + 1 = 0$ .若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $m =$ ；若 $l_{1} ⊥ l {}_{2}$ ，则 $m =$ .

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13. 已知圆锥的底面积为 $π c m^{2}$ ，高为 $\sqrt{3} c m$ ，则这个圆锥的侧面积为cm² ，圆锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为cm².

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14. 已知平面内两点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 1$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为，点 $P$ 到直线 $3 x + 4 y + 12 = 0$ 的距离的最小值为.

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15. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，三条侧棱 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两垂直， $P A = 1$ ， $P B = 2$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{6}$ ，则 $P C$ 的长为.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设点 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ ，定义： $‖ P Q ‖ = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ .若点 $A (1, 0)$ ，点 $B$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $‖ A B ‖$ 的最大值为.

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $C = \frac{π}{2}$ ，点 $D$ 是边 $A B$ （端点除外）上的一动点.若将 $△ A C D$ 沿直线 $C D$ 翻折，能使点 $A$ 在平面 $B C D$ 内的射影 $A^{'}$ 落在 $△ B C D$ 的内部（不包含边界），且 $A^{'} C = \frac{\sqrt{7}}{3}$ .设 $A D = t$ ，则的取值范围是.

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三、解答题

18. 已知圆 $C$ 的圆心为 $(2, 1)$ ，且经过坐标原点.
（Ⅰ）求圆 $C$ 的标准方程；

（Ⅱ）直线 $x + y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ .

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2 A A_{1}$ ， $O_{1}$ 是底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心.

（Ⅰ）求证： $O_{1} B //$ 平面 $A C D_{1}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $D_{1} - A C - D$ 的平面角的余弦值.

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20. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ . $O$ 为坐标原点， $C (2 ， 0)$ 为椭圆的右顶点， $A$ ， $B$ 在椭圆上，且四边形 $O A C B$ 是正方形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且线段 $P Q$ 的中点 $M$ 恰在线段 $A B$ 上，求 $k$ 的取值范围.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B = A D = C D = 1$ ， $B C = 2$ .平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P B C$ 为等边三角形，点 $E$ 是棱 $B C$ 上的一动点.

(Ⅰ)求证： $C D ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(Ⅱ)求直线 $P E$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值的最大值.

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22. 如图，过点 $P (0 ， - 1)$ 的直线 $l_{1}$ 与抛物线 $y^{2} = x$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ 在第一象限），且交 $x$ 轴于点 $M$ ，过点 $A$ 的直线 $l_{2}$ 交抛物线于另一点 $C$ ，且交 $x$ 轴于点 $N$ ， $k_{1}$ ， $k_{2}$ 分别是直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率，且满足 $2 k_{1} + k_{2} = 0$ .记 $△ A M N$ ， $△ A B C$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ .

（Ⅰ）若 $k_{1} = 2$ ，求 $l_{2}$ 的方程；

（Ⅱ）求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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