上海市浦东新区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $l : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3}$ 的一个方向向量可以是（）

A、(2，3) B、( $- 2$ ，3) C、(3，2) D、( $- 3$ ，2)

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2. 二元一次方程 ${\begin{matrix} x - 2 y = 1 \\ 3 x + y = 5 \end{matrix}$ 的系数行列式的值是（）

A、2 B、5 C、7 D、11

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3. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3^{n} + a$ ，则 $a$ 的值为（）

A、3 B、1 C、-3 D、-1

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4. 已知点P(a，b)，曲线 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ， $C_{2} : y = \sqrt{1 - x^{2}}$ ，则“点P(a，b)在曲线C₁上”是“点P(a，b)在曲线C₂上”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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二、填空题

5. 9与1的等比中项为.

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6. $\lim_{n \to \infty} \frac{n - 2}{2 n + 1} =$ .

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7. 若 $\vec{a} = (1, 2)$ 与 $\vec{b} = (2, m)$ 平行，则实数m=.

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8. 在三阶行列式 $| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} |$ 中，5的代数余子式的值为．

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9. 直线 $\sqrt{3} x - y + 2 = 0$ 的倾斜角为．

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10. 向量 $\vec{m} = (4, 3)$ 在向量 $\vec{n} = (1, 0)$ 方向上的投影为.

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列且a₅=2，则其前9项和S₉=.

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12. 直线 $l_{1} : x + y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x - y + 2 = 0$ 夹角的大小为.

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13. 若方程 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y - k = 0$ 表示的曲线是圆，则实数 $k$ 的取值范围是.

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14. 若 ${a_{n}}$ 是无穷等比数列，且 $\lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}) = 2$ ，则 $a_{1}$ 的取值范围为.

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15. 已知动点P在曲线 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 上，则动点P到直线 $x - y = 0$ 的距离的最大值与最小值的和为.

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16. 在矩形ABCD中，边AB､AD的长分别为2､1，若M､N分别是边BC､CD上的点，且满足 $\frac{| \vec{B M} |}{| \vec{B C} |} = \frac{| \vec{C N} |}{| \vec{C D} |}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知直线 $l$ 与直线 $2 x + y - 5 = 0$ 平行，并且直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $4$ ，求直线 $l$ 的一般式方程.

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18. 已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 2)$ ， $\vec{c} = \vec{b} - λ \vec{a}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角θ的余弦值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，求实数 $λ$ 的值和向量 $\vec{c}$ .

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19. 已知定点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ 和曲线 $y = x^{2} + 3$ 上的动点C.

(1)、求线段AB的垂直平分线的方程：

(2)、若点G是 $△ A B C$ 的重心，求动点G的轨迹方程.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，点 $P (a_{n} ， a_{n + 1})$ ， $n \in N^{*}$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，S_n为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，试问：是否存在关于n的整式 $g (n)$ ，使得 $S_{1} + S_{2} + \dots S_{n - 1} = (S_{n} - 1) \cdot g (n) (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ 恒成立，若存在，写出 $g (n)$ 的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由.

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21. 已知圆 $C ： {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 4 (a > 0 ， b > 0)$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分別相切于 $A$ 、 $B$ 两点.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x - 2$ 与线段 $A B$ 没有公共点，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、试讨论直线 $l ： y = k x - 2$ 与圆 $C ： {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 4 (a > 0 ， b > 0)$ 的位置关系.

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