陕西省咸阳市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 4$ ，则 $a_{2} a_{4} =$ （）

A、64 B、32 C、16 D、8

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2. 抛物线 $x^{2} = 16 y$ 的准线方程为 $($ $)$

A、 $y = - 4$ B、 $y = - 8$ C、 $x = - 4$ D、 $x = - 8$

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3. 命题 $\forall x \in R, x^{2} + 3 a x + 1 > 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 3 a x + 1 \leq 0$ B、∃x∈ $R, x^{2} + 3 a x + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} + 3 a x + 1 > 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + 3 a x + 1 \leq 0$

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4. 如果实数 $a$ ， $b$ 满足： $a < b < 0$ ，则下列不等式中不成立的是（）

A、 $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$ B、 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ C、 $| a | > | b |$ D、 $b^{2} - a^{2} < 0$

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5. 椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(\pm 2, 0)$ B、 $(\pm 4, 0)$ C、 $(0, \pm 2)$ D、 $(0, \pm 4)$

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6. 已知直线l的方向向量为 $(2, 1, m)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $(1, \frac{1}{2}, 2)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则实数 $m =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - m x + 1 > 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $(- 2 ， 2)$

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8. 已知命题 $p$ ：若 $x > y$ ，则 $\sin x > \sin y$ ；命题 $q$ ： $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ ，则下列命题为假命题的是（）

A、 $p \lor q$ B、 $p \land q$ C、 $q$ D、 $\neg p$

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9. 已知 $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 、 $\vec{e_{3}}$ 是空间的一个基底， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ， $\vec{c} = \vec{e_{3}}$ ， $\vec{p} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}} + \vec{e_{3}}$ ，若 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ，则 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的值分别为（）

A、 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{5}{2}$ ，1 B、 $\frac{5}{2}$ ，1， $\frac{1}{2}$ C、1， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ，1

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10. 某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第三实验室比第一实验室的设备费用高9万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高36万元.则该研究所改建这五个实验室投人的设备费用为（）

A、93万元 B、45万元 C、189万元 D、96万元

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11. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱 $C C_{1} = 3$ ，底面 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A C = B C = \sqrt{2}$ ，则点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{11}}{11}$ B、 $\frac{\sqrt{22}}{11}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{11}$ D、 $\frac{3 \sqrt{22}}{11}$

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12. 如图，过抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若 $| B C | = 2 | B F |$ ，且 $| A F | = 6$ ，则此抛物线方程为（）

A、 $y^{2} = 9 x$ B、 $y^{2} = 6 x$ C、 $y^{2} = 3 x$ D、 $y^{2} = \sqrt{3} x$

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二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 $A = 60 °$ ， $b = 2$ ， $c = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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14. 设 $x \in R$ ， $M = 3 x^{2} - x + 1$ ， $N = x^{2} + x - 1$ ，则M与N的大小关系为.

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15. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的两条渐近线与直线 $x = - 1$ 所围成的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} (n \in N^{*})$ .设 $b_{n} = \frac{n - 2 λ}{a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，且数列 ${b_{n}}$ 是递增数列，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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三、解答题

17.

(1)、解关于x的不等式： $\frac{x - 1}{x + 1} < 0$ ；

(2)、已知正数x，y满足 $x + y = 1$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值.

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18. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{7} = 1$ ， $S_{4} = - 32$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最小值.

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19. 已知命题 $p$ ：“曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4 m - 3} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆”，命题 $q$ ：“曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m - t} + \frac{y^{2}}{m - t - 1} = 1$ 表示双曲线”.

(1)、若 $p$ 是真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $t$ 的取值范围.

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20. 如图， $D$ 是直角 $△$ $A B C$ 斜边 $B C$ 上一点， $A C = \sqrt{3} D C$ ．

(1)、若 $∠ D A C = 30 °$ ，求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $B D = 2 D C$ ，且 $D C = 3 ，$ 求 $A D$ 的长．

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21. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点， $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $B_{1} D$ 与平面 $B D E F$ 所成的角的正弦值.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $y = x$ 被椭圆C截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过原点的直线与椭圆C交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ､ $B (- x_{1}, - y_{1})$ 两点(A､B不与椭圆C的顶点重合)，点 $D (x_{2}, y_{2})$ 在椭圆C上，且 $A D ⊥ A B$ ，直线BD与x轴交于M点，设直线BD､AM的斜率分别为 $k_{1}$ ､ $k_{2}$ ，证明存在常数 $λ$ 使得 $k_{1} = λ k_{2}$ ，并求出 $λ$ 的值.

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