陕西省渭南市大荔县2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在一个命题和它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，真命题的个数不可能是（）

A、0 B、2 C、3 D、4

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2. 不等式 $- x^{2} - 3 x + 4 > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (4, + \infty)$ C、 $(- 4, 1)$ D、 $(- 1, 4)$

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3. 命题“ $\exists x_{0} \leq 0$ ，使得 $x_{0}^{2} \geq 0$ ”的否定是（）

A、∀x≤0，x²<0 B、∀x≤0，x²≥0 C、 $\exists x_{0} > 0, x_{0}^{2} > 0$ D、 $\exists x_{0} < 0, x_{0}^{2} \leq 0$

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4. 若 $a 、 b$ 是满足 $a b < 0$ 的实数，那么下列结论中成立的是（）

A、 $| a - b | < | a | - | b |$ B、 $| a - b | < | a | + | b |$ C、 $| a + b | > | a - b |$ D、 $| a + b | < | a - b |$

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5. 中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）

A、3斤 B、6斤 C、9斤 D、12斤

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6. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \geq x \\ x + 2 y \leq 2 \\ x \geq - 2 \end{array}$ ，则 $z = x - 3 y$ 的最小值为（）

A、-7 B、7 C、-8 D、8

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7. $x > 1$ 是 $x^{2} > 1$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的焦距为8，则实数 $m$ 的值是（）

A、 $\sqrt{15}$ B、 $\sqrt{17}$ C、 $15$ D、 $17$

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9. 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)．若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为（）

A、 $\frac{9}{16}$ B、 $\frac{4}{19}$ C、 $\frac{27}{64}$ D、 $\frac{8}{27}$

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10. 如果满足 $a = x$ ， $b = 2$ ， $B = 60 °$ 的 $△ A B C$ 有两个，那么x的取值范围为（）

A、 $0 < x \leq 2$ B、 $x > 2$ C、 $2 < x < \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2 < x \leq \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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11. 如图所示，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 $60 °$ .求 $B D_{1}$ 与 $A C$ 夹角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$

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12. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是一对相关曲线的焦点， $P$ 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、2

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二、填空题

13. 观察下列等式： $1^{3} + 2^{3} = {(1 + 2)}^{2}, 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = {(1 + 2 + 3)}^{2},$ $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = {(1 + 2 + 3 + 4)}^{2}, \dots,$ 根据上述规律，第四个等式为.

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14. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} + a_{17} = 10$ ，则 $S_{19}$ =.

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15. 已知正数 $x, y$ 满足 $x y - y + 1 = 0$ ，则 $y + \frac{4}{x}$ 的最小值为．

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16. 已知点 $A$ ， $B$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 长轴的左、右端点，点 $P$ 在椭圆上，直线 $A P$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，设 $M$ 是椭圆长轴 $A B$ 上的一点， $M$ 到直线 $A P$ 的距离等于 $| M B |$ ，椭圆上的点到点 $M$ 的距离 $d$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 2 < x < 4}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $(∁_{R} B) \cap A$ ；

(2)、若 $a > 0$ ，设命题 $p$ ： $x \in A$ ，命题 $q$ ： $x \in B$ .已知 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值围.

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, a_{4} = 16$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设等差数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{2} = a_{2}, b_{9} = a_{5}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，D为直角△ABC斜边BC上一点， $A C = \sqrt{3} D C$ ，

(1)、若 $∠ D A C = 30^{\circ}$ ，求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $B D = 2 D C$ ，且 $A D = 2 \sqrt{2}$ ，求 $D C$ 的长；

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20. 已知双曲线C的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，点 $(2 \sqrt{3}, 1)$ 在双曲线上，且抛物线 $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点F与双曲线的一个焦点重合.

(1)、求双曲线和抛物线的标准方程；

(2)、过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为 $\sqrt{3}$ 时，求线段 $A B$ 的长度.

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21. 如图， $A B C D$ 是边长为3的正方形， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F // D E$ ， $D E = 3 A F$ ， $B E$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $60 °$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求二面角 $F - B E - D$ 的余弦值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆的右顶点为 $A$ ．

(1)、求该椭圆的方程；

(2)、过点 $D (\sqrt{2} ， - \sqrt{2})$ 作直线 $P Q$ 交椭圆于两个不同点 $P$ ， $Q$ ，求证：直线 $A P$ ， $A Q$ 的斜率之和为定值．

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