陕西省宝鸡市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $C : y^{2} = - 16 x$ 的焦点坐标为（）

A、 $(4, 0)$ B、 $(8, 0)$ C、 $(- 4, 0)$ D、 $(- 8, 0)$

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2. 若直线 $l_{1} : a x - (a - 4) y + 2 = 0$ 和直线 $l_{2} : (a - 3) x + y + 2 = 0$ 互相垂直，则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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3. 某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为（）

A、10 B、12 C、18 D、20

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{4} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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5. 若执行如图所示的程序框图，则输出的m＝（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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6. 下列说法：
①若线性回归方程为 $\hat{y} = 3 x - 5$ ，则当变量x增加一个单位时，y一定增加3个单位；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；③线性回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过点 $(\bar{x}, \bar{y})$ ；④抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法属于系统抽样，

其中错误的说法是（）

A、①③ B、②③④ C、①②④ D、①④

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7. 两个圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ 与 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 m x + 4 m y + 5 m^{2} - 20 = 0$ 的公切线恰好有2条，则 $m$ 的取值范围是（）．

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 2, 0) \cup (2, 4)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$

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8. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $A B = A D = A A_{1} = 4$ ， $∠ A_{1} A D =$ $∠ A_{1} A B = ∠ D A B = 60 °$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长度是（）．

A、 $6 \sqrt{3}$ B、10 C、 $4 \sqrt{6}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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9. 已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）．

A、56π B、224π C、 $\frac{56 \sqrt{14} π}{3}$ D、 $\frac{448 \sqrt{14} π}{3}$

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10. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0 ， c = \sqrt{a^{2} - b^{2}})$ 的左、右焦点，过点 $F_{2}$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线l与直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 相交于点P，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，则椭圆E的离心率e的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 将正整数排成下表：
1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

…

则在表中数字2019出现在（）

A、第44行第82列 B、第45行第82列 C、第44行第83列 D、第45行第83列

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12. 如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的两焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，长轴为 $A_{1} A_{2}$ ，短轴为 $B_{1} B_{2}$ ，若以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆内切于菱形 $A_{1} B_{2} A_{2} B_{1}$ ，切点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，则菱形 $A_{1} B_{2} A_{2} B_{1}$ 的面积 $S_{1}$ 与矩形 $A B C D$ 的面积 $S_{2}$ 的比值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2} - 3$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2} - 1$ C、 $3 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、填空题

13. 直线 $y = 2 x - 2$ 被抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 截得的弦长为．

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14. 空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染.某环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取了15天的AQI数据，用如图所示的茎叶图记录.根据该统计数据，估计此地该年空气质量为优或良的天数约为．（该年为366天）

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15. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C和双曲线C的一条渐近线分别相交于P，Q两点（P，Q在同一象限内），若P为线段QF的中点，且 $| P F | = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线C的标准方程为．

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16. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = \frac{\sqrt{6}}{3} C C_{1}$ ，则二面角 $C_{1} - D B - C$ 的大小为．

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三、解答题

17. 已知命题 $p :$ “曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{2 m + 3} = 1$ 表示焦点在y轴上的椭圆”，命题 $q :$ “曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ 表示双曲线”．

(1)、请判断p是否是q的必要不充分条件，并说明理由；

(2)、若命题“p且q”是真命题，求实数m的取值范围．

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18. 一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．

(1)、从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；

(2)、先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为 $a$ 和 $b$ ，求 $a + b > 5$ 的概率．

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19. 已知动点 $P$ 到点 $F (t, 0)$ （ $t$ 为常数且 $t > 0$ ）的距离与到直线 $x = - t$ 的距离相等，且点 $(1, - 1)$ 在动点 $P$ 的轨迹上．

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程，并求t的值；

(2)、在（1）的条件下，已知直线与轨迹 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $M (2, 1)$ 是线段 $A B$ 的中点，求直线 $l$ 的方程．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P D$ 上的动点．

(1)、若 $P B //$ 平面 $A E C$ ，请确定点 $E$ 的位置，并说明理由．

(2)、设 $A B = A P = 2$ ， $A D = 3$ ，若 $\vec{P E} = \frac{1}{3} \vec{P D}$ ，求二面角 $P - A C - E$ 的正弦值．

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21. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ， $D (\sqrt{2 p} ， 1)$ 为抛物线上的一点， $F$ 为其焦点，且 $| D F | = \frac{p^{2}}{2}$ .

(1)、求抛物线的方程；

(2)、直线 $A B$ 过焦点 $F$ ，若直线 $O A$ 、 $O B$ 分别交直线 $l$ ： $3 x - 2 y - 6 = 0$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $| M N |$ 的最小值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为2．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $A$ ， $B$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右顶点，点 $D$ 为椭圆 $C$ 的下顶点，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上异于椭圆顶点的动点，直线 $A P$ 与直线 $B D$ 相交于点 $M$ ，直线 $B P$ 与直线 $A D$ 相交于点 $N$ ．证明：直线 $M N$ 与 $x$ 轴垂直．

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