湖南省永州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = 1 - 2 i$ 的虚部为（）

A、-2 B、2 C、 $- 2 i$ D、1

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $x < 1$ ”是“ $0 < x < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， m ， 2) ， \vec{b} = (1 ， - 5 ， - 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、-1 B、2 C、-2 D、1

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4. 已知点 $A (4 ， y_{0})$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 上， $F$ 为抛物线的焦点，则 $| A F | =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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5. 2020年5月14日，中共中央政治局常委会会议首次提出“深化供给侧结构性改革，充分发挥我国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”.某地响应党的号召推出了“与爱同行”的旅游系列活动以拉动内需，为了让游客更好的了解当地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中 $A$ 点表示十月的平均最高气温为 $15 ° C$ ， $B$ 点表示四月的平均最低气温为 $5 ° C$ .下面叙述不正确的是（）

A、各月的平均最低气温都在 $0 ° C$ 以上 B、七月的平均温差比一月的平均温差大 C、三月和十一月的平均最高气温基本相同 D、平均最高气温高于 $20 ° C$ 的月份有 $5$ 个

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6. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右顶点分别为 $A$ ， $B$ ， $P$ 为椭圆上异于 $A$ ， $B$ 两点的动点，则 $k_{P A} \cdot k_{P B} =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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7. 某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，检测结果的频率分布直方图如图所示，据此估计这批产品的中位数为（）

A、20 B、25 C、22.5 D、22.75

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8. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 左、右焦点为F₁ ， F₂ ，直线 $y = \sqrt{3} b$ 与C的右支相交于P，若 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则双曲线C渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{2}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} x$

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二、多选题

9. 下列结论正确的有（）

A、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件 B、在标准大气压下，水在 $4^{o} C$ 时结冰为随机事件 C、若一组数据 $1$ ， $a$ ， $2$ ， $4$ 的众数是 $2$ ，则这组数据的平均数为 $3$ D、某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 $400$ 的样本进行调查.若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为 $6 ： 5 ： 5 ： 4$ ，则应从四年级中抽取 $80$ 名学生

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10. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ，点 $E$ 为 $P A$ 的中点，则下列判断正确的是（）

A、 $P B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{°}$ B、 $B D ⊥$ 平面 $P A C$ C、 $P C$ ∥平面 $B D E$ D、 $V_{B - C D E} ： V_{P - A B C D} = 1 ： 4$

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11. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列（ $c$ 为双曲线的半焦距），点 $P$ 为双曲线右支上的点，点 $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心.若 $S_{△ I P F_{1}} = S_{△ I P F_{2}} + λ S_{△ I F_{1} F_{2}}$ 成立，则下列结论正确的是（）

A、当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时， $∠ P F_{1} F_{2} = 30^{\circ}$ B、离心率 $e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $λ = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、点 $I$ 的横坐标为定值 $a$

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12. 已知函数 $f (x) = \ln | x | - x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = x - (x - 1) \ln x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $g (x)$ 存在唯一极值点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (1 ， 2)$ B、 $f (x)$ 恰有3个零点 C、当 $k < 1$ 时，函数 $g (x)$ 与 $h (x) = k x$ 的图象有两个交点 D、若 $x_{1} x_{2} > 0$ 且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} x_{2} = 1$

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三、填空题

13. 已知命题 $p ：$ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ ，则 $\neg p$ ：.

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14. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $D_{1} B_{1}$ 的交点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{A M} =$ （用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示）.

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15. 已知 $M$ 为椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{5} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C$ 的焦点，则 $△ M F_{1} F_{2}$ 的周长为.

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16. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - a x^{2}$ ，对任意的 $m \in (0 ， 1) ， n \in (0 ， 1)$ ，当 $m \neq n$ 时， $\frac{f (m + 1) - f (n + 1)}{m - n} < 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x$ .

(1)、求曲线 $f (x)$ 在点 $(1 ， - 5)$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的最小值和最大值.

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18. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ .

(1)、若直线 $l ： x + y + 4 = 0$ ，求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 距离的最小值；

(2)、过点 $A (0 ， 2)$ 且倾斜角为 $45^{°}$ 的直线m交 $C$ 于 $M ， N$ 两点，求 $| M N |$ .

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19. 某企业为了提高企业利润，从2014年至2018年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额

x

（单位：万元）与年利润增长量

y

（单位：万元）的数据如表：

年份	2014	2015	2016	2017	2018
投资金额 $x$ /万元	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
年利润增长量 $y$ /万元	6.0	7.0	9.0	11.0	12.0

(1)、记

ω =

年利润增长量

-

投资金额，现从2014年至2018年这5年中抽出两年进行调查分析，求所抽两年都是

ω > 2

万元的概率；

(2)、请用最小二乘法求出

y

关于

x

的回归直线方程；如果2019年该企业对生产环节改进的投资金额为10万元，试估计该企业在2019年的年利润增长量为多少？

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；

参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 286$ ， $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = 190$ .

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B$ // $C D$ ， $A B = 2 D C = 2 \sqrt{3}$ ， $A C \cap B D = F$ ，且 $△ P A D$ 与 $△ A B D$ 均为正三角形， $A E$ 为 $△ P A D$ 的中线，点 $G$ 在线段 $A E$ ，且 $A G = 2 G E$ .

(1)、求证： $G F$ //平面 $P D C$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $G B C$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 分别为椭圆左、右顶点， $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 分别为椭圆上、下顶点，且四边形 $A_{1} B_{1} A_{2} B_{2}$ 的面积为 $4$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $M (- \frac{6}{5} ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P$ 、 $Q$ （异于点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ）两点，证明： $A_{1} P ⊥ A_{1} Q$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x} - x^{2} - a x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x \in (0 ， 1)$ ， $f (x) + g (x) < 0$ ，求整数 $a$ 的最小值.

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