湖南省常德市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $z = 1 + i$ ，则 $| z^{2} - z | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 命题“若函数 $f (x)$ 是奇函数，则 $f (x)$ 图象过原点”的否命题是（）

A、若函数 $f (x)$ 是偶函数，则 $f (x)$ 图象不过原点 B、若函数 $f (x)$ 是偶函数，则 $f (x)$ 图象过原点 C、若函数 $f (x)$ 不是奇函数，则 $f (x)$ 图象不过原点 D、若函数 $f (x)$ 不是奇函数，则 $f (x)$ 图象过原点

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3. 椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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4. 命题 $p : x^{2} + 2 x - 8 < 0$ ，命题 $q : | x + 1 | \leq 3$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 下列各式正确的是（）

A、（a^x）’=a^xlna B、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ C、 ${(\sin \frac{π}{8})}^{'} = \cos \frac{π}{8}$ D、 ${(x^{- 5})}^{'} = - \frac{1}{5} x^{- 6}$

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6. 已知直线 $l_{1}$ 的一个方向向量为 $\vec{a} = (1, - 2, 2)$ ，直线 $l_{2}$ 的一个方向向量为 $\vec{b} = (1, 2, 0)$ ，则两直线所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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7. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与椭圆C交于A，B两点，且 $| A F_{1} | + | B F_{1} | = 8$ ，则 $| A B | =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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8. 定积分 $\int_{0}^{2} (e^{x} + 2) d x$ 的值为（）

A、1 B、 $e^{2}$ C、 $e^{2} + 4$ D、 $e^{2} + 3$

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9. 函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的最大值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{e}$ C、 $\frac{2}{e^{2}}$ D、 $\frac{3}{e^{3}}$

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10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点E为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则二面角 $B_{1} - A_{1} B - E$ 的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ 上的动点M到两定点 $A (0 ， - 1)$ ， $B (1 ， - 3)$ 的距离之和的最小值为（）

A、4 B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\sqrt{19}$ D、 $\frac{49}{16}$

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12. 已知 $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ ， $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - m$ ，若 $\forall x_{1} \in [0, 3]$ ， $\exists x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{4}]$ C、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{4}, + \infty)$

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二、填空题

13. 甲、乙、丙、丁四位老师分别担任语文、数学、英语、物理四门课的教学，甲不是语文和英语老师，乙是数学老师，丙不是语文老师，则英语老师是

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14. 命题“ $\forall x \in R ， x^{2} + x + 1 > 0$ ”的否定是

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15. 已知直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 相交于A，B两点，若点 $P (6, 3)$ 为线段AB的中点，则直线 $l$ 的方程是.

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16. 如果定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，对任意两个不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) > x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ ，则称函数 $f (x)$ 为“H函数”，给出下列函数：
① $y = e^{x} + 1$ ② $y = 3 x - 2 (\sin x - \cos x)$

③ $y = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ ④ $y = {\begin{array}{l} \ln | x | ， x \neq 0 \\ x ， x = 0 \end{array}$

以上函数是“H函数”的所有序号为.

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三、解答题

17. 求下列各曲线的标准方程

(1)、实轴长为12，离心率为 $\frac{2}{3}$ ，焦点在x轴上的椭圆方程；

(2)、抛物线的焦点是双曲线 $16 x^{2} - 9 y^{2} = 144$ 的左顶点.求抛物线方程.

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18. 已知棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D E ⊥ C_{1} F$ ；

(2)、求异面直线 $A_{1} C$ 与 $C_{1} F$ 所成角的余弦值.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - 3 x$ .

(1)、若 $a = 4$ 时，求 $f (x)$ 在 $x \in [1 ， 4]$ 上的最大值和最小值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x \in [2 ， + \infty)$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 设 $p$ ：实数 $x$ 满足 $x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0$ ； $q$ ：实数 $x$ 满足 $| x - 3 | < 1$ .

(1)、若 $\neg q$ 为假，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $a > 0$ 且 $q$ 是 $p$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知椭圆C： $\frac{- x_{1}^{3} + x_{1}^{2}}{x_{1}} \cdot \frac{x_{1}^{3} + x_{1}^{2}}{- x_{1}} = - 1 ， ∴ (- x_{1}^{3} + x_{1}^{2}) (x_{1}^{3} + x_{1}^{2}) = x_{1}^{2}$ （a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A₁ ．求证：直线A₁B过x轴上一定点，并求出此定点坐标．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) > 2 (x + \frac{x^{3}}{3})$ ；

（Ⅲ）设实数 $k$ 使得 $f (x) > k (x + \frac{x^{3}}{3})$ 对 $x \in (0 ， 1)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．

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