湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in [- 1, 0]$ ， $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in [- 1, 0]$ ， $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ B、 $\forall x \in [- 1, 0]$ ， $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \in [- 1, 0]$ ， $x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 2 \leq 0$ D、 $\exists x_{0} \in [- 1, 0]$ ， $x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 2 < 0$

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2. 已知i为虚数单位，且复数 $\frac{| 3 + 4 i |}{z} = 1 - 2 i$ ，则复数z的共轭复数为（）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. 已知双曲线的： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为虚轴长的3倍，则双曲线的离心率e为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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4. 已知x与y之间的一组数据如下表：

x

3

4

5

6

y

30

40

60

50

若y与x线性相关，根据上表求得y与x的线性回归方程， $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b}$ 为8，据此模型预报 $x = 7$ 时y的值为（）

A、70 B、63 C、65 D、66

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5. 已知m，n是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ . B、若 $m // n$ ， $n \subset β$ ，则 $m // β$ . C、若 $m ⊥ α$ ， $m // n$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$ . D、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m // β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ .

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6. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱垂直于底面， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ，点E为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，点F在 $B C$ 的延长线上且 $\vec{C F} = \frac{1}{4} \vec{B C}$ ，则异面直线 $B E$ 与 $C_{1} F$ 所成的角为（）

A、90° B、60° C、45° D、30°

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7. 皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的 $(p - 1)$ 次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集 ${2, 3, 5, 6}$ 中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知 $y = (1 - x) f^{'} (x)$ 的图象如图所示，其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，则所给选项的四个图象中，函数 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = x \cdot \cos x$ ， $x \in R$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是周期函数 C、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(π ， f (π))$ 处的切线方程为 $x + y = 0$ D、在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上， $f (x)$ 单调递增

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10. 下列说法正确的是（）

A、向量 $\vec{a} = (2 - 3 k, k, - 4)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 2)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则实数k为－2 B、“ $a^{2} > 4$ ”是“ $a > 2$ ”的必要不充分条件 C、“ $0 < a < 2$ ”是“ ${(a + 1)}^{- 2} < {(2 a - 1)}^{- 2}$ ”的充要条件 D、对于命题“ $\forall x \in R$ ， $a x^{2} + 4 x \geq x^{2} - 2$ ”是真命题，则实数a的取值范围是 ${a | a \geq 3}$

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11. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A、椭圆C的离心率为 $\frac{3}{5}$ B、存在点A使得 $A F_{1} ⊥ A F_{2}$ C、若 $| A F_{2} | + | B F_{2} | = 8$ ，则 $| A B | = 12$ D、 $△ A F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为12

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12. 如图，点M是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中的线段 $A_{1} D$ 上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A、存在点M，使 $C M //$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ B、不存在点M满足 $C M ⊥ A D_{1}$ C、存在点M，使异面直线 $C_{1} M$ 与 $A B$ 所成的角是60° D、二面角 $B - C_{1} D - M$ 的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0, 2)$ ，且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 互相垂直，则 $k =$ .

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14. 用长为24 $cm$ 的钢条围成一个长方体框架，要求长方体的长与宽之比为3 $：$ 1，则长方体的宽为时，其体积最大.

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15. 抛物线 $y^{2} = 6 x$ 的焦点为F，准线为l，经过点F的斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线 $l_{1}$ 交抛物线于A，B两点，交点B在x轴的下方， $B B_{1} ⊥ l$ ，垂足为点 $B_{1}$ ，则 $△ B F B_{1}$ 的面积为.

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16. 已知 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (- 2) = 0$ ，且当 $x > 0$ 时 $\frac{f (x) - x f^{'} (x)}{x^{2}} < 0$ ，则不等式 ${(x - 1)}^{2} f (x - 1) > 0$ 的解集是.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线的方程；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的极值.

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18. 在①平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A P$ ；② $A B ⊥ P A$ ， $P A ⊥ C D$ ；③ $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ， $A B ⊥ A P$ .这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
如图，在四棱柱 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形，点E在 $B C$ 上， $A D // B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C = 2 A B = 2 A D = 2 A P = 4 B E = 4$ ，且 ▲ .

(1)、求证：平面 $P D E ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求直线 $P E$ 与平面 $P A C$ 所成的角的正弦值.

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19. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ ，焦点为F，过点 $M (0 ， 2)$ 作直线l交抛物线于A，B两点.

(1)、证明： $K_{O A} \cdot K_{O B}$ 为定值（O为原点， $K_{O A}$ ， $K_{O B}$ 为直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率）；

(2)、求三角形 $A F B$ 的面积 $S_{△ A F B}$ 的最小值.

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20. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了解本次竞赛的学生成绩情况，从中随机抽取了 $n$ 名学生的成绩（假设竞赛成绩均在 $[50 ， 100]$ 内）作为样本进行统计.按照 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 分为五组作出了如下频率分布直方图，并列出了分数在 $[50 ， 60)$ 和 $[90 ， 100]$ 的茎叶图.

(1)、由图中数据求出 $n$ ， $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若从竞赛成绩在 $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成环保知识宣传小组，定期在校内进行义务宣传，并在这6名学生中随机抽取2名学生参加市组织的环保知识竞赛，求竞赛成绩在 $[80 ， 90)$ 内的学生至少有1名学生被抽到的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = {(1 - x)}^{2} - 3 a \ln (2 + x)$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点，求实数a的取值范围.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，且椭圆C上的点M满足 $| M F_{1} | = \frac{6}{5}$ ， $∠ M F_{1} F_{2} = 120 °$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、作直线垂直于x轴，交椭圆C于点Q，R，点P是椭圆C上异于Q，R两点的任意一点，直线 $P Q$ ， $P R$ 分别与x轴交于S，T两点，判断 $| O S | \cdot | O T |$ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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