湖北省随州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线l垂直于直线 $y = x + 1$ ，且l在y轴上的截距为 $\sqrt{2}$ ，则直线l的方程是（）

A、 $x + y - \sqrt{2} = 0$ B、 $x + y + 1 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $x + y + \sqrt{2} = 0$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (x, 2, 1 - x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、-5 B、5 C、4 D、-1

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3. 已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则 $Γ$ 的渐近线方程为（）．

A、 $y = \pm 3 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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4. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 12 y + 33 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 10 x - 4 y - 52 = 0$ ，则两圆公切线条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 在各项都为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，首项 $a_{1} = 3$ ，前3项和为21，则 $a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ （）

A、84 B、72 C、33 D、189

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6. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴的两个端点分别为A，B，点C为椭圆上异于A，B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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7. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = \frac{1}{2} A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A C = ∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，D点是线段 $A B$ 上靠近A的一个三等分点，则 $\vec{C D} \cdot \vec{B_{1} B} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 6 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为l，A是l上一点，B是直线 $A F$ 与抛物线C的一个交点，若 $\vec{F A} = 3 \vec{F B}$ ，则 $| B F | =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{t} - \frac{y^{2}}{9 - t} = 1$ 的离心率 $e = \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $t = 3$ 或 $- 9$ B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、双曲线 $C$ 的实轴长等于 $2 \sqrt{3}$ D、双曲线 $C$ 的焦点到其渐近线的距离等于 $\sqrt{3}$

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10. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 9$ ， $a_{5} = - 1$ .记 $T_{n} = a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n} (n = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ ，则数列 ${T_{n}}$ （）

A、 $T_{5} = T_{6}$ B、有最大项 $T_{4}$ C、无最大项 D、无最小项

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11. 已知直线 $l : a x - y - 3 a = 0$ 上存在相距为4的两个动点A，B，若圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ 上存在点P使得 $△ P A B$ 是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则实数a的值可以为（）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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12. 已知球O为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球，平面 $A_{1} C_{1} B$ 截球O的面积为 $24 π$ ，下列命题中正确的有（）

A、异面直线 $A C$ 与 $B C_{1}$ 所成的角为60° B、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} B$ C、球O的表面积为 $36 π$ D、三棱锥 $B_{1} - A_{1} C_{1} B$ 的体积为288

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三、填空题

13. 已知在空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c} ，$ 点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = 3 M A$ ， $N$ 为 $B C$ 中点，用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于．

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14. 过点 $P (3 ， 4)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 10$ 的两条切线，设切点分别为A，B，则线段 $A B =$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，D是斜边上一点，以 $A D$ 为棱折成60°二面角 $C - A D - B$ ，则线段 $B C$ 最小值为．

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16. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过焦点 $F_{1}$ 的直线交该椭圆于 $A ， B$ 两点，若 $△ A B F_{2}$ 的内切圆面积为 $π$ ， $A ， B$ 两点的坐标分别为 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，则 $△ A B F_{2}$ 的面积 $S =$ ， $| y_{1} - y_{2} |$ 的值为.

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四、解答题

17. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中底面 $A B C D$ 为菱形， $P A = P C$ ．

(1)、求证： $B C / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证： $P B ⊥ A C$ ．

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18. 已知 $Δ A B C$ 三边所在直线方程： $l_{A B} : 3 x - 2 y + 6 = 0$ ， $l_{A C} : 2 x + 3 y - 22 = 0$ ， $l_{B C} : 3 x + 4 y - m = 0$ （ $m \in R, m \neq 30$ ）.

(1)、判断 $Δ A B C$ 的形状；

(2)、当 $B C$ 边上的高为1时，求 $m$ 的值.

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19. 在① $3 a_{2} + b_{2} + b_{4} = 0$ ，② $a_{4} = b_{4}$ ，③ $S_{3} = - 27$ 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题.设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ， ▲ ， $a_{5} = b_{1}$ ， $4 T_{n} = 3 b_{n} - 1$ （ $n \in N^{*}$ ），是否存在实数 $λ$ ，对任意 $n \in N^{*}$ 都有 $λ \leq S_{n}$ ？若存在，求实数 $λ$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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20. 已知与 $x = - 1$ 相切的圆C的圆心在射线 $x - 3 y = 0 (x > 0)$ 上，且被直线 $l ： 3 x - 4 v + 5 = 0$ 截得弦长为 $4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若圆C上有且仅有2个点到与l平行的直线 $l^{'}$ 的距离为2，求直线 $l^{'}$ 在x轴上截距的取值范围．

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21. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $∠ C B B_{1} = 60 °$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C$ ， $B C = A B_{1} = 2$ ．

(1)、求证：面 $A B C ⊥$ 面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、在线段 $C_{1} A_{1}$ 上是否存在一点M，使得二面角 $M - C B_{1} - C_{1}$ 为 $\frac{π}{6}$ ，若存在，求出 $\frac{C_{1} M}{C_{1} A_{1}}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且椭圆C经过点 $P (0 ， 1)$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为 $- 1$ ，试问：直线l是否经过定点，若经过求出该定点的坐标，若不经过请说明理由.

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