安徽省淮南市2020-2021学年高二上学期理数期末试卷

试卷更新日期：2021-02-19 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 下列说法正确的是（）．

A、命题“若 $x^{2} - 1 = 0$ ，则 $x = 1$ 或 $x = - 1$ ”的否命题是“若 $x^{2} - 1 \neq 0$ ，则 $x \neq 1$ 或 $x \neq - 1$ ” B、“ $x > 1$ ”是“ $x > 2$ ”的必要不充分条件 C、“ $2^{a} > 2^{b}$ ”是“ $a > b$ ”的充分不必要条件 D、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 1 < 0$ ”

查看试题解析
2. 已知定义在 $[m ， n]$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的大致图象如图所示，则下列叙述正确的个数为（）

①函数 $f (x)$ 的值域为 $[f (d) ， f (n)]$ ；②函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上递增，在 $[b ， d]$ 上递减；③ $f (x)$ 的极大值点为 $x = c$ ，极小值点为 $x = e$ ；④ $f (x)$ 有两个零点.

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析
3. 关于直线 $m$ ， $n$ ， $l$ 及平面 $α$ ， $β ， γ$ ，下列命题中正确的是（）．

A、若 $m ⊥ l$ ， $n ⊥ l$ ，则 $m // n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m // β$ ，则 $α ⊥ β$

查看试题解析
4. 已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且 $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c} - \vec{a})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{c} - \vec{a} - \vec{b})$

查看试题解析
5. 将周长为4的矩形 $A B C D$ 绕 $A B$ 旋转一周所得圆柱体积最大时， $A B$ 长为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

查看试题解析
6. 已知 $P$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，若 $\tan ∠ P F_{2} F_{1} = 3$ ，则 $C$ 的离心率为（）．

A、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

查看试题解析
7. 定积分 $\int_{- 1}^{1} (3 x^{2} + \sqrt{1 - x^{2}}) d x =$ （）．

A、 $1 + \frac{π}{2}$ B、 $2 + \frac{π}{2}$ C、 $3 + π$ D、 $4 + π$

查看试题解析
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{16}{3}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、12

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{\ln x}{x} ， x > 0 \\ (x + 2) e^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - a$ 仅有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）．

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty) \cup (- \infty ， - \frac{1}{e^{3}})$ C、 $(\frac{1}{e} ， 2] \cup (- \infty ， - \frac{1}{e^{3}})$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{e^{3}})$

查看试题解析
10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $N$ 为正方形 $A B C D$ 所在平面内一动点，则下列命题正确的个数为（）．
①若 $M N = 4$ ，则 $M N$ 的中点 $P$ 的轨迹所围成图形的面积为 $3 π$ ；②若点 $N$ 到直线 $B B_{1}$ 与直线 $D C$ 的距离相等，则点 $N$ 的轨迹为抛物线；③若 $D_{1} N$ 与 $A B$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，则点 $N$ 的轨迹为双曲线的一支；④若 $M N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，则点 $N$ 的轨迹为圆．

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析

二、填空题

11. 已知双曲线的焦点在 $y$ 轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，则双曲线的标准方程是．

查看试题解析
12. 长方体的长、宽、高分别为 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{2}$ ，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．

查看试题解析
13. 已知函数 $f (x) = \ln x + x^{2} - 3 x + \frac{m}{x}$ ．若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上单调递减，则实数 $m$ 的最小值为．

查看试题解析
14. 若实数 $x$ ， $y$ 满足方程 $\sqrt{x^{2} + {(y + 3)}^{2}} + \sqrt{x^{2} + {(y - 3)}^{2}} = 10$ ，则 $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{x^{2} + {(y - 3)}^{2}}$ 的取值范围为．

查看试题解析

三、解答题

15. 已知命题 $p$ ：方程 $\frac{x^{2}}{a - 1} + \frac{y^{2}}{7 - a} = 1$ 表示焦点 $y$ 轴上的椭圆；命题 $q ： \exists x \in [- 2 ， - 1]$ ，使得 $2 x + a - 1 > 0$ 成立．

(1)、若命题 $\neg p$ 为假命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p \land q$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}} (a \neq 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上的最大值和最小值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

查看试题解析
17. 如图所示，在多面体 $A B C D E$ 中， $D E // A B$ ， $A C ⊥ B C$ ，平面 $D A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B C = 2 A C = 4$ ， $A B = 2 D E$ ， $D A = D C$ ，点 $F$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若直线 $B E$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $60^{°}$ ，求平面 $D C E$ 与平面 $A D C$ 所成的锐二面角的余弦值．

查看试题解析
18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过点 $M (4 p ， 0)$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点．当 $A B$ 垂直于 $x$ 轴时， $△ O A B$ 的面积为 $8 \sqrt{2}$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、设线段 $A B$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $T$ ．
①证明： $y_{1} y_{2}$ 为定值；

②若 $O A //TB$ ，求直线l的方程．

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) + a (x^{2} + x) + 2 (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点．
①求 $a$ 的取值范围；

②证明 $f (x)$ 的极小值小于 $- 2 \ln 2 + \frac{1}{2}$ ．

查看试题解析