安徽省蚌埠市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-02-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x + y + 2 = 0$ 的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 已知P，Q是不同的点，l，m，n是不同的直线， $α$ ， $β$ 是不同的平面，则下列数学符号表示的命题中，不是公理的是（）

A、 $P \in l$ ， $Q \in l$ ， $P \in α$ ， $Q \in α \Rightarrow l \subset α$ B、 $P \in α$ ， $P \in β \Rightarrow$ 存在唯一直线l， $α \cap β = l$ ，且 $P \in l$ C、 $l / / m$ ， $m / / n \Rightarrow l / / n$ D、 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α \Rightarrow m / / n$

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3. 抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(\frac{1}{16} ， 0)$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(- \frac{1}{16} ， 0)$ D、 $(0 ， 1)$

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4. 如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（）

A、 B、 C、 D、

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5. 直线 $l ： x - 2 y - 1 = 0$ 和圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 4 = 0$ 相交于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、6

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6. 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（）

A、 $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ B、 $\vec{O M} = 2 \vec{O A} - \vec{O B} - \vec{O C}$ C、 $\vec{O M} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ D、 $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$

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7. 如图，用一个平面截圆柱得一椭圆面，平面与圆柱底面所成的锐二面角为 $60 °$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知空间中l，m，n是三条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ D、若 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $m / / n$

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9. 下列说法中，错误的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 \leq 0$ ”否定为“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ ” B、命题“若 $m^{2} + n^{2} = 0$ ，则 $m = 0$ 且 $n = 0$ ”的否命题是“若 $m^{2} + n^{2} \neq 0$ ，则 $m \neq 0$ 或 $n \neq 0$ ” C、命题“若 $m > 0$ ，则方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根”的逆否命题是真命题 D、命题“若a，b都是偶数，则 $a + b$ 是偶数”的逆命题是假命题

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10. 设离心率为 $e$ 的双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过焦点 $F$ ，且斜率为 $k$ ，则直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左、右两支都相交的充要条件是（）

A、 $k^{2} - e^{2} > 1$ B、 $e^{2} - k^{2} > 1$ C、 $k^{2} - e^{2} < 1$ D、 $e^{2} - k^{2} < 1$

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11. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）

A、7π B、8π C、9π D、10π

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12. 直线l与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相交于A，B两点，线段AB的中点为M，点P是y轴左侧一点，若线段PA，PB的中点都在抛物线上，则（）

A、PM与y轴垂直 B、PM的中点在抛物线上 C、PM必过原点 D、PA与PB垂直

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二、填空题

13. 空间直角坐标系中，点 $(1 ， 3 ， 4)$ 关于平面 $x O z$ 的对称点坐标为.

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14. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线AP与 $B C_{1}$ 所成角的大小为.

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15. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬 $40 °$ ，则晷针与点A处的水平面所成角的大小为.

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ， $D$ 是线段 $A C$ 上一点且 $A D = 3 D C$ .三棱锥 $P - A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 表面上，过点 $D$ 作球 $O$ 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为 $16 π$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积为.

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三、解答题

17. 如图所示，正四棱台 $A C^{'}$ 的高是17cm，上、下两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.

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18. 已知直线 $m ： (a - 1) x + (2 a + 3) y - a + 6 = 0$ ，直线 $n ： x - 2 y + 3 = 0$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，直线 $l$ 经过 $m$ 与 $n$ 的交点，且 $l ⊥ n$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $m / / n$ ，求直线 $m$ 与 $n$ 间的距离.

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19. 已知 $p ： x^{2} - 2 x - 35 \leq 0$ ， $q ： [x - (m + 1)] [x - (2 m - 1)] \leq 0$ （其中实数 $m > 2$ ）.

(1)、分别求出p，q中关于x的不等式的解集M，N；

(2)、若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

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20. 已知圆C过点 $(1 ， 0)$ ，且与圆 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 外切于点 $(0 ， 1)$ ，点 $P (m ， 0) (m \neq 0)$ 是x轴上的一个动点.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、当圆C上存在点Q，使 $∠ O P Q = 30 °$ ，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围.

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21. 如图所示，在七面体ABCDEFG中，底面ABCD是边长为2的菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ， $B E / / C F / / D G$ ， $B E ⊥$ 底面ABCD， $B E = C F = D G = 2$ .

(1)、求证： $A G / /$ 平面BCFE；

(2)、在线段BC上是否存在点M，使得平面AGE与平面MGE所成锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ ，若存在求出线段BM的长；若不存在说明理由﹒

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22. 已知圆 $C ： {(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $G (- \sqrt{3} ， 0)$ ，P是圆C上一动点，若线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，点Q的轨迹为曲线E.动直线l交曲线E于M，N两点，且始终满足 $O M ⊥ O N$ ，O为坐标原点，作 $O H ⊥ M N$ 交MN于点H.

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、证明： $| O H |$ 为定值.

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23. 已知圆 $C ： {(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $G (- \sqrt{3} ， 0)$ ，P是圆C上一动点，若线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，点Q的轨迹为曲线E.曲线E与x轴的正半轴交于A点，与y轴的正半轴交于B点，动直线l交曲线E于M，N两点，且始终满足 $O M ⊥ O N$ ，O为坐标原点，作 $O H ⊥ M N$ 交MN于点H.

(1)、求曲线E的方程；

(2)、求 $\vec{H A} \cdot \vec{H B}$ 的取值范围.

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